1 CEV模型下指数价格柳树的构建
在本节中, 首先简单介绍数值计算方法柳树法的原理, 然后给出构建CEV模型下指数价格柳树的方法.
假设指数价格
其中
柳树法最初由Curran[16]提出, 并经由Xu[17]进一步改进, 简化了柳树法构造方法, 并将之推广到其他模型, 如CIR模型[18], Merton跳扩散模型[19]等. 构建柳树主要有两个步骤: 确定柳树中每个节点的值和计算任意两个相邻节点间的转移概率. 图1是一个3时段4节点的柳树结构示意图. 从图中可以看到时间区间
图1 3时段4节点指数价格柳树示意图.
Figure 1 A willow tree structure with 3 time steps and 4 possible index prices at each time step.
构建CEV过程下的
根据伊藤引理, 易得：
由上式可知,
在
其中
确定
其中
根据[22]的结果, 假设
当
记
其中
同理,
其中
至此, CEV模型下指数价格柳树的构建就介绍完毕. 下一节将根据本节介绍的柳树构建方法建立指数价格柳树, 并根据该柳树估计波动率指数的值以及对波动率指数期权定价.
2 柳树结构上波动率指数计算及波动率指数期权定价
在本节中, 首先介绍如何通过构建的CEV模型下指数价格柳树估计每个节点上波动率指数的值进而得到波动率指数柳树, 接着给出根据波动率指数柳树倒向递归定价波动率指数期权的方法.
2.1 通过指数价格柳树估计波动率指数
由(1)式, 为了计算
将时间区间
由建立的指数价格柳树, 在
由(4)式, 计算
将(5)式带入(4)式, 可得在
由(6)式,为了计算在
首先, 对
考虑
在
定理1：在具有
证明：
由(7)式提取最内层求和项的公因式, 可得：
又:
将(10)式代入(9)式:
提取(11)式最内层求和项的公因式, 可得:
(12)
又:
将(13)式代入(12)式:
同理, 不断提取最内层求和项的公因式, 可得:
□
根据定理1, 将(8)式带入(6)式, 可得在
令
至此, 我们便得到了在
根据(1)式给出的波动率指数的定义, 记
将(15)式代入(16)式, 可得:
令
2.2 柳树法定价波动率指数期权
在本节中, 我们将介绍如何通过建立的波动率指数柳树定价波动率指数期权. 假设需要定价的波动率指数期权是以
将时间区间
接下来, 根据构建的波动率指数柳树, 采用倒向递归的方式计算波动率指数期权的价格.
在
在
易得, 在
至此, 柳树法定价波动率指数期权的方法介绍完毕, 接下来是数值实验部分. 在数值实验部分, 我们将给出本节介绍的采用柳树法定价波动率指数期权方法的数值计算结果, 同时也将我们提出的方法同嵌套蒙特卡罗模拟方法进行对比.
3 数值实验
这一节将给出本文的数值结果. 由于CEV模型下波动率指数期权的解析解难以得到, 在数值实验中, 我们采用嵌套蒙特卡罗模拟的结果进行对比. 同时给出不同方差弹性系数
在蒙特卡罗模拟时需要进行嵌套模拟, 首先模拟生成10000条从
数值实验只对欧式看涨波动率指数期权进行定价. 假设需要定价的波动率指数期权是以
为了研究柳树空间节点数
图3 内层模拟路径数取不同值时嵌套蒙特卡罗模拟的定价结果.
Figure 3 The pricing results of nested Monte Carlo under different numbers of nested paths.
接下来, 我们将给出在四组不同的参数设定下柳树法的定价结果, 同时也给出嵌套蒙特卡罗模拟(10000次外层模拟和100000次内层模拟)的定价结果, 并将其作为参照标准. 四组参数的设定见表2. 在参数的设计中, 我们考虑了不同的初始价格、波动率系数和方差弹性系数的组合. 表3给出了这四组参数设定下柳树法和嵌套蒙特卡罗模拟得到的期权价格, 其中嵌套蒙特卡罗模拟的结果中也给出了模拟的标准差（价格旁边括号内数值）. 表3给出的结果显示两种方法给出的价格非常接近, 相对误差(以嵌套蒙特卡罗模拟结果为标准)保持在1%以内, 柳树法给出的期权价格落在嵌套蒙特卡罗模拟结果的99%置信区间内(蒙特卡罗模拟结果加减2.576个标准差). 而表3给出的计算时间显示, 柳树法所需时间不到嵌套蒙特卡罗模拟需要时间的0.2%, 柳树法的计算效率要远远优于嵌套蒙特卡罗模拟.
表2 四组CEV模型参数设定
Table 2 four groups of parameters in CEV model
CEV参数设定 第1组 100 0.6 2 0.03 第2组 100 0.85 0.6 0.03 第3组 200 0.7 1.5 0.03 第4组 50 0.75 0.8 0.03 表3 四组CEV模型参数下的定价结果
Table 3 the pricing results under four groups of parameters in CEV model
参数设置 期权价格 计算时间（秒） 相对误差（%） 柳树法 蒙特卡罗模拟 柳树法 蒙特卡罗模拟 第1组参数 11.828 11.778(0.031) 3.498 2413.207 0.42 第2组参数 10.005 9.960(0.024) 3.254 2400.446 0.45 第3组参数 10.625 10.582(0.023) 3.038 2396.534 0.40 第4组参数 10.084 10.030(0.019) 3.055 2401.415 0.54 为了研究方差弹性系数
表 4 Option prices under different variance elasticity coefficients.
期权价格 相对误差
（%）
柳树法 蒙特卡罗模拟 0.54 4.083 4.087(0.022) -0.087 0.56 6.430 6.421(0.024) 0.154 0.58 9.020 8.944(0.027) 0.850 0.60 11.816 11.807(0.032) 0.076 0.62 14.983 14.924(0.036) 0.398 0.64 18.420 18.342(0.040) 0.423 0.66 22.216 22.132(0.046) 0.379 表 5 Option prices under different volatility coefficients.
期权价格 相对误差
（%）
柳树法 蒙特卡罗模拟 1.4 2.203 2.183(0.016) 0.935 1.6 5.379 5.357(0.022) 0.398 1.8 8.603 8.589(0.026) 0.157 2.0 11.848 11.773(0.031) 0.636 2.2 15.113 15.089(0.037) 0.160 2.4 18.420 18.395(0.045) 0.140 2.6 21.788 21.722(0.052) 0.302 表4: 不同方差弹性系数下期权价格.
表5: 不同波动率系数下期权价格.
4 结论
本文给出了CEV模型下波动率指数期权的柳树法定价方法. 通过CEV过程刻画指数价格既能够保证我们建立的模型能够保持股票市场和波动率指数期权市场的一致性, 同时CEV过程的方差弹性系数使模型的波动率保持随机性的前提下相比二维随机波动率模型, 可以简化参数估计问题, 更易于运用.
我们首次将数值方法柳树法运用于CEV模型下波动率指数期权定价问题. 在无法得到波动率指数期权解析解的情况下, 给出了一种定价波动率指数期权的高效数值算法. 同嵌套蒙特卡罗模拟相比, 柳树法定价波动率指数期权的效率大大提高. 本文创新性的提出根据柳树结构估计波动率指数的方法, 解决了在估计未来某时刻波动率指数时需要基于该时刻信息计算条件期望的问题, 大大提高了计算效率, 避免了蒙特卡罗模拟嵌套模拟的问题.
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摘要
作为对冲市场波动率变动风险的波动率指数期权, 其定价问题一直受到广泛的关注. 但是对未来波动率指数的估计涉及基于未来时点的信息计算条件期望, 这一直是波动率指数期权定价的一大难点. 为了对波动率指数期权定价, 采用CEV过程刻画指数价格, 并运用数值方法——柳树法, 给出波动率指数期权的价格. 首先, 构建服从CEV过程的指数价格柳树, 然后根据指数价格柳树确定柳树节点上相应波动率指数的值从而得到波动率指数柳树, 最后在波动率指数柳树上运用倒向递归的方法得到波动率指数期权的价格. 本文提出通过柳树结构估计条件期望进而得到波动率指数的方法, 使得数值计算方法的效率大大提高. 柳树法定价波动率指数期权的结果随着柳树空间节点数的增加快速逼近嵌套蒙特卡罗模拟的结果, 当柳树空间节点数超过200时, 柳树法给出的结果具有相当高的精度.
Abstract
As one of most important tools to manage the risk of volatility, a lot of attention has been paid to the VIX options. It has always been difficult in numerical calculation to determine the values of VIX, because it needs to estimate conditional expectation based on the information in some future time. In order to price VIX option, we use CEV process to describe the underlying index, and then price VIX option by the willow tree. Firstly, we build a willow tree of underlying index under the CEV model. Then we determine the value of VIX at each node in the willow tree of underlying index. Finally, we use the willow tree of VIX to price VIX option by backward induction. In the article, we propose an efficient way to estimate the values of VIX. Numerical results show that the pricing results given by willow tree are consistent with the results got from nested Monte Carlo simulation when the number of VIX nodes on each time period in the willow tree is bigger than 200.
波动率指数(Volatility Index, VIX)用于度量市场未来一个月的波动率, 又称为市场恐慌性指数, 指数值越高, 市场看空情绪越高. 1993年, 芝加哥期权交易所(CBOE)首先公布了美股市场的波动率指数, 并联合高盛在2003年改进了波动率指数的计算方法. 在新波动率指数推出不久后, 芝加哥期权交易所在2004年3月26日推出波动率指数期货, 随后在2006年2 月24 日推出波动率指数期权. 由于我国金融市场起步较晚, 直到2015年2月9日, 上海证券交易所才推出上证50ETF期权, 接着联合中证指数公司在2016年11月28日正式发布上证50ETF波动率指数(指数简称: 中国波指, 指数代码:000188). 但是, 在中国波指发布一年后, 从2018年2月14日起, 中证指数公司停止发布中国波指. 据新浪财经报
波动率指数的概念在研究文献中的首次出现要比1993年芝加哥期权交易所(CBOE)首次正式公布波动率指数要早得多. 1987年全球金融危机后, Brenner和Galai[1]指出当前市场上的期权期货衍生品虽然可以帮助投资者对冲市场价格的波动, 但是投资者因为缺乏对冲市场波动率变化的工具而依旧暴露在市场波动率变化的风险中, 并且首次提出了波动率指数的概念. 1993年, Whaley[2]指出通过波动率指数衍生品可以对冲市场波动率风险, 且相比构建指数期权的投资组合这是一种更加简单高效的对冲方式. 2006年, Carr和Wu[3]分析了芝加哥期权交易所在2003年给出的新波动率指数和1993年的旧波动率指数的不同之处, 并讨论修改波动率指数的背后动机. 随着研究的进一步深入, 许多文献开始研究任意时刻
这里,
波动率指数期权(VIX期权)是以交易所给出的波动率指数作为期权标的物的欧式看涨(看跌)期权. 为了研究波动率指数期权的定价问题, 研究者们建立了大量定价模型, 参考[7,8,9,10,11,12,13,14]. 这些模型大致可以分为两类: 1. 直接从波动率指数出发构建模型, 如文献[7,8,9,10]; 2. 从指数价格出发构建指数价格服从的随机波动率模型, 再由(1)式确定波动率指数, 如文献[11,12,13,14]. 在第一类模型中, 由于直接对波动率指数建模并没有用到指数价格信息, 所以构建的模型无法保证波动率指数期权市场同相应的股票市场的一致性, 而市场历史数据表明这两个市场是具备一致性的, 如当股票市场处于下跌趋势时, 指数期权的看跌期权价格上涨且隐含波动率增大, 同时波动率指数上涨. 在第二类模型中, 间接建模保证了两个市场的一致性, 但为了刻画模型波动率的随机性, 往往需要构建双因子模型, 如Heston随机波动率模型[11], 3/2随机波动率模型[12]以及4/2随机波动率模型[13]. 这些双因子模型无不面临模型参数过多难以估计的难题, 解决参数估计问题用到的最多的方法是极大似然估计参数的方法. 然而由于需要估计的参数个数太多, 高维状态下的极大似然估计并不能给出令人满意的参数估计精度, 如在文献[13]中用市场历史数据检验根据极大似然估计得到的参数估计值时发现, 均方误差均在10%以上.
本文在构建波动率指数期权定价模型时, 采用第二种类型的建模方法, 同时为了降低参数估计的难度, 采用CEV过程[15]来刻画指数价格. 采用CEV过程构建模型主要有两大优势: 第一, 采用CEV过程刻画指数价格的方式可以保证建立的模型能够反映波动率指数期权市场同对应股票市场的一致性, 在股票市场中, CEV模型的方差弹性系数
本文结构安排如下: 第一节介绍了CEV模型下指数价格柳树的构建方法; 第二节给出通过指数价格柳树计算波动率指数进而得到波动率指数柳树的方法, 并通过倒向递归对波动率指数期权定价; 第三节是本文的数值实验部分; 最后一节给出本文的结论.
