1 考虑几何不平顺的钢轨裂纹萌生和磨耗发展预测方法

1.1　裂纹萌生与磨耗发展共存预测方法

在裂纹萌生与磨耗发展共存预测方法中^[6]，将疲劳裂纹萌生和磨耗在轮轨反复作用下的同时存在、共同发展的连续过程，离散成有限个车轮作用在钢轨上引起材料疲劳累积、磨耗和钢轨型面变化、直至疲劳裂纹萌生的过程，同时在仿真中采用尽量多的离散阶段，以逼近连续过程。如图1所示，裂纹萌生和磨耗共存发展的每一个离散阶段主要分成两个子阶段^[11]：（1）磨耗-疲劳单独发展子阶段和（2）磨耗型面替换-疲劳累积子阶段。这两个子阶段的过渡是受钢轨磨耗到限、型面发生更替来控制的。在磨耗-疲劳单独发展子阶段，钢轨型面暂时保持不变，磨耗和疲劳损伤分别单独计算和累积，即一方面根据磨耗模型按照轮轨接触斑滑动区分布来计算每次车轮通过时的磨耗量，并累加车轮通过次数得到阶段磨耗量，另一方面，计算该阶段钢轨材料在轮轨接触法向、切向应力作用下的疲劳损伤寿命。当磨耗量到达设定值时，进入磨耗型面替换-疲劳累积阶段，钢轨型面首先替换为减少上述磨耗量后的磨耗型面，同时，将前一个磨耗-疲劳单独发展子阶段得到的车轮通过次数和轨头各点疲劳损伤进行累积，之后进入下一个离散阶段循环，这时的钢轨型面已经替换成了上一子阶段得到的磨耗型面，轮轨接触和由此引起的应力应变、疲劳累积、磨耗位置和磨耗量相应都发生变化，如此循环直到钢轨任意点的疲劳累积损伤达到临界值，则认为该点萌生疲劳裂纹。

图1 裂纹萌生和磨耗发展共存预测思路

Fig.1 the prediction method for the coexistence of crack initiation and wear growth

可见在上述仿真过程中，轮轨接触是引起钢轨磨耗和疲劳损伤的前提，受到轨道几何不平顺的影响。

1.2　轨道几何不平顺引起的轮轨接触点变化

列车在实际运行中，由于轨道几何不平顺的存在，无论是不同型面的车轮还是相同型面的车轮，在钢轨上运行时的轮轨接触位置呈一定的分布范围，即光带范围。

采用多体动力学软件Simpack，建立车辆-轨道动力学模型。以1节车第1轮对通过圆曲线为例，其中车轮型面为LM磨耗型，钢轨型面为75kg▪m^-1标准型面，且不考虑轮轨磨耗，曲线半径800m，轨道几何不平顺为实测的某重载铁路轨向不平顺。当该轮对沿钢轨纵向的前进时，随时间发展其横移量变化如图2（a）所示，外轮与外轨接触点位置随轮对横移量变化的分布如图2（b）所示。两图中，纵坐标正值为钢轨轨距边方向，横坐标正值为仿真中的时间发展。可以看出，轮对通过曲线时会在几何不平顺的影响下产生波动性的横移，轮轨接触点在钢轨上的位置随之变化。

（a） 第一轮对横移量（方框中为细部放大）

（b） 外轮在曲线外轨上的接触点位置分布

（c） 外轮在曲线中点外轨上的接触点分布

图2 轨道几何不平顺引起的轮轨接触点变化

Fig.2 Wheel-rail contact position change caused by track geometric irregularity

同理，若考虑一定数量的车轮通过曲线中点处的外轨横断面，轨道几何不平顺为实测相同半径、相同轨道结构的轨向不平顺，轮轨接触点位置如图2（c）所示。可以看出，轮轨接触点因轨道几何不平顺在轨头呈一定范围的分布，且在分布范围内每一位置上的分布频率也不相同。这种情况可以由现场观测所证实，如图3所示，某重载铁路800m半径曲线的外轨，新轨上道至通过总重约7-8万吨期间，轮轨接触光带分布主要在轨肩-轨距角和轨顶中心，宽度分别为距离轨顶中心约-10mm~5mm、10mm~30mm。虽然上述现场钢轨光带分布情况还与不同型面的车轮接触有关，但可以发现轨道几何不平顺使得接触点在轨面一定范围内以不同的概率分布。

图3 现场观测的新轨接触光带情况

Fig.3 Field observation of contact light band on new rail

1.3　考虑轨道几何不平顺的钢轨磨耗计算

从图2（c）看出，考虑轨道几何不平顺时，如果按照每个车轮与钢轨的接触点分别计算其磨耗，计算时间非常庞大。为此，首先采用车辆-轨道动力模型（Simpack）计算考虑几何不平顺情况下钢轨每个接触点位置分布和轮轨力，然后根据接触位置和轮轨力采用轮轨接触模型（kalker的CONTACT程序）计算接触斑蠕滑状态和应力分布^[8]，再基于Archard磨耗理论^[10]分别计算接触斑滑动区在钢轨横断面每个位置引起的磨耗量，最后按接触斑在横断面各个位置的分布概率来累加磨耗量。

以1节车第1轮位的外轮通过曲线中点的钢轨横断面为例，将所有接触斑作用在钢轨横断面上的范围等分为n份（个），记做n个接触位置，且每份宽度远小于1个轮轨接触斑的宽度，使得接触斑中心位于每个接触位置的中心。因为接触斑在相邻的接触位置时，分别引起的轨面磨耗会叠加，所以再将钢轨可能的磨耗范围等分成m份（个），记做m个磨耗位置，如图4所示。

图4 考虑轨道几何不平顺的钢轨磨耗计算

Fig.4 Calculation of rail wear considering track geometric irregularity

如图4所示，假设1个接触斑位于第1个接触位置时，其对钢轨横断面所有m个磨耗位置造成的磨耗深度为α1，该值为横断面各位置的磨耗深度合集，以矩阵形式表示：

式中，Z₁₁，Z₁₂，...，Z_1i，...，Z_1m为1个接触斑位于第1个接触位置时在横断面1~m个磨耗位置处分别造成的磨耗深度，每个值是将接触斑沿钢轨纵向方向分成纵向条带，按其滑动区面积，根据Archard磨耗理论分别计算得到^[6,8,12]，同时从图4可以看出，只有接触斑影响范围内的磨耗位置（如磨耗位置1~i）会产生磨耗，而未影响到的磨耗位置（如磨耗位置i+1~m）不会产生磨耗。

因此，1个接触斑在第1~n个接触位置分别接触时，引起的钢轨横断面所有磨耗位置的磨耗深度可汇总为：

再假设1个接触斑作用在钢轨每个接触位置中心的概率分别为β₁，β₂，...，β_n，记做：

若车轮通过次数为W，则在第n个接触位置上车轮的通过次数为Wβ_n，该接触位置引起的轨面磨耗深度为Wβnαn。由此，确定钢轨横断面总磨耗深度αsum：

平均每次车轮通过时造成的钢轨横断面磨耗量αavr：

式中符号同前。可以看出，上述方法将考虑轨道几何不平顺后的轮轨接触斑根据其分布频率分散到了钢轨横断面不同的可能接触位置，且由于接触斑及其滑动区均有一定宽度，对轨面某一位置及其相邻位置的磨耗也做了量化划分和累积。具体计算时，根据计算效率，n和m可以相等也可以不相等。

1.4　考虑轨道几何不平顺的钢轨疲劳损伤累积

临界平面法认为当通过材料内部某点的任意平面上的应力应变引起的疲劳参量P为最大值时，疲劳裂纹在该点萌生^[13]。但考虑磨耗和疲劳裂纹萌生共存过程时，磨耗引起钢轨型面发展变化，使得轨头内任意点的疲劳损伤随型面发展变化呈阶段性累积。假设第R个型面被第R+1个型面替换前，共有f_R次车轮通过，则第R个型面上第j点的无量纲的疲劳损伤为：

式中，F_Rj为第R个型面不发生磨耗时，其上第j点的裂纹萌生寿命（车轮通过次数），而实际上由于磨耗，第R个型面在车轮通过次数为f_R次时就达到磨耗规定值而不得不被替换为下一个磨耗型面，支撑不到F_Rj次车轮通过。

随着钢轨型面的磨耗变化，假如型面上的第j点没有在磨耗过程中被磨掉，根据Miner线性疲劳累积法则，当∑Dj=D1j+D2j+D3j+⋯DRj=1时，认为在第R个型面的第j点上裂纹萌生，其磨耗和疲劳累积的过程如图5所示。图中粗实线R₁为预测开始时的初始钢轨型面，R₂、R₃、…、R_R分别为按磨耗规定值（定义为型面任意点的最大垂直磨耗量=0.03mm）依次形成的磨耗型面。图4各图中钢轨型面内的黑点为轨头内发生疲劳损伤累积的点，其中A点是疲劳累积最快、最后萌生裂纹的点，其中括号中f_R（R=1~R）为该型面在替换前的车轮通过次数。

图5 随着型面变化的钢轨疲劳累积损伤

Fig.5 fatigue damage accumulates with the change of rail profile

当考虑轨道几何不平顺时，由于接触斑在轨面的分散和由此带来的接触应力应变的变化，上述f_R、F_Rj、D_Rj均发生变化。

同样如图4所示，在某一钢轨磨耗型面时，轮轨接触斑在轨面的接触位置分成了n个，每个接触位置均对轨头引起不同的法向应力和切向应力。以1节车第1轮位的外轮通过曲线中点的钢轨断面为例，第R个型面时轨头第j点的疲劳损伤为：

式中，k为所有接触斑在轨面的接触位置（k=1~n）；f_R为第R个型面被第R+1个型面替换前的车轮通过次数，由于有几何不平顺的影响，与不考虑几何不平顺情况下每个型面的实际车轮通过次数在数值上有所差异；βRk为第R个型面时1个接触斑作用在钢轨第k个接触位置的概率，由式（3）得到；FRjk为第R个型面不发生磨耗时，1个接触斑作用在钢轨第k个接触位置在j点的裂纹萌生寿命；其余符号同前。

式（7）中的任意一个接触位置的F_Rj由式（8）得到：

式中：σ'、τ'分别为拉伸、剪切疲劳强度系数；ε'、γ'分别拉伸、剪切疲劳延性系数；b为疲劳强度指数；c为疲劳延性指数；P_Rjmax为第R个钢轨型面时钢轨j点的疲劳参量最大值，由式（9）确定：

式中：为MacCauley括号，σmax=0.5σmax+σmax；σmax为裂纹面上的最大正应力；Δε为车轮与钢轨接触时引起的各点所有平面上的正应变幅值最大值；Δτ和Δγ分别为车轮与钢轨接触时引起的各点所有平面上剪应力幅值和剪应变幅值的最大值；J为材料参数。

1.5　预测流程

考虑几何不平顺的钢轨裂纹萌生和磨耗发展共存预测流程如图6：

图6 考虑几何不平顺的钢轨裂纹萌生和磨耗发展共存预测

Fig.6 Prediction for rail RCF crack initiation and wear growth considering track geometry irregularity

根据上述计算方法，结合重载铁路曲线外轨表面疲劳裂纹的现场跟踪观测及其车辆-轨道条件^[14]，采用Simpack建立车辆-轨道多体动力学模型并输入实测轨道几何不平顺，计算轮轨接触状态和接触位置分布；采用Kalker的CONTACT软件^[15]计算轮轨接触斑内蠕滑状态和应力分布；建立钢轨有限元模型，施加上述结果，按公式（5）计算几何不平顺情况下的钢轨磨耗，按公式（7）-（9）计算疲劳损伤寿命和累积情况，从而预测曲线中点外轨断面的疲劳裂纹萌生和磨耗共存发展。裂纹萌生和磨耗发展共存预测方法的详细计算过程参见^[8]。仿真参数如表1所示。

需要注明的是，如1.3节所述，轨道几何不平顺是作为车辆-轨道动力学模型中的输入条件，用于计算轮轨接触点位置及其分布概率，因此可以采用几何不平顺谱反推随机不平顺或者直接采用实测几何不平顺数据。这里为了说明考虑不平顺下的裂纹萌生和磨耗共存预测方法，采用了实测高低和轨向不平顺数据。

2 仿真结果

2.1　钢轨磨耗

考虑到磨耗引起的型面变化，定义接触斑在轨面的接触位置和磨耗位置n=m=15~25逐渐变化。同时，在保证计算精度的情况下缩短计算时间，再将接触斑在轨面的分布概率按其分布范围等分为3份，对单节车的4个外轮通过曲线外轨中点的轮轨接触情况进行统计，并计算该位置钢轨横断面磨耗。由于单节车前后转向架的导向轮（1位轮和3位轮）和从动轮（2位轮和4位轮）在没有几何不平顺影响时分别具有相同的运动状态，在几何不平顺影响下仅接触位置、接触状态不同，第1节的方法同样适用，所以这里以该节车辆第1、2轮位的外轮为例，第1个型面阶段（标准新轨型面）的轮轨接触点位置分布见图7。

（a） 第1轮位外轮与外轨接触

（b） 第2轮位外轮与外轨接触

图7 第1个型面阶段轮轨接触点分布

Fig.7 Distribution of wheel-rail contact positions at the first profile stage

从图7可看出，第1个型面阶段的第1轮位外轮与外轨的接触点分布位置靠近轨距边，距离轨顶中心11mm~29mm的范围，将上述接触位置范围等分3份，即将每份里轮轨接触位置上的分布概率分别求和，得到轮轨在这3个接触位置的分布概率分别约为45%、10%和45%。同理，第2位外轮与外轨的接触点分布位置也靠近轨距边，处于距离轨顶中心11mm~27mm的范围，3个接触位置上的分布概率为50%、20%和30%。上述结果体现了新轮-新轨接触情况，其各自的接触点分布特征与文献^[16]的分析一致。随着磨耗增加和型面变化，轮轨接触位置范围进一步变化，图8是第3个型面阶段的轮轨接触点位置分布。

图8 第3个型面阶段轮轨接触点分布

Fig.8 Distribution of wheel-rail contact positions at the third profile stage

注：（a）第1轮位外轮与外轨接触（b）第2轮位外轮与外轨接触

从图8可以看出，第3个型面替换阶段的第1轮位外轮与外轨的接触点分布范围扩展到距离轨顶中心10.5mm~30.5mm，3个接触位置区域的分布概率分别为44%、23%和33%，第2轮位外轮与外轨的接触点分布范围扩展到距离轨顶中心9mm~30mm，3个接触位置区域分布概率分别为37%、25%和38%。

这样，将每个型面阶段的接触斑按对应的分布概率分别统计，再按式（1）-（5）进行磨耗计算。

图9为考虑轨道几何不平顺情况下第3个磨耗型面阶段时，第1、2位外轮分别引起外轨在3个接触位置上的单次磨耗量，其中沿轨顶中心至轨距边的接触位置依次命名为n₁、n₂、n₃。图10为考虑轨道几何不平顺情况下第1、2位外轮引起外轨的单次磨耗量之和，即上述3个接触位置引起的磨耗量的叠加，并与未考虑轨道不平顺的结果进行对比。

图9 不同接触位置的车轮引起单次磨耗深度

Fig.9 A single wear depth caused by wheels in different contact positions

图10 第1、2轮位外轮引起的钢轨单次磨耗深度

Fig.10 A single wear depth caused by the external wheel of the first and second wheel position

从图9,10可以看出，考虑轨道几何不平顺后，轮轨接触点位置更加分散，形成的钢轨磨耗范围也更宽。

当预测发生裂纹萌生时，钢轨型面替换了6次，其变化如图11所示。

图11 考虑轮轨接触位置动态分布时的钢轨型面变化

Fig.11 The change of rail profile considering the dynamic distribution of wheel-rail contact position

根据钢轨型面替换前后的磨耗量及对应的车轮通过次数，可以计算每个型面阶段的钢轨横断面磨耗发展率（1个磨耗阶段起终时的两个钢轨横断面各点垂直磨耗量之和与该阶段车轮通过次数之比）和裂纹萌生时的平均磨耗发展率（各磨耗阶段磨耗发展率之和与磨耗阶段的数量之比）^[9]。考虑和未考虑轨道几何不平顺情况下的各型面阶段磨耗发展率如表2所示。各型面阶段磨耗发展率与对应的车轮通过次数如图12所示。

图12 各型面阶段磨耗发展率与对应的车轮通过次数

Fig.12 The development rate of wear in each profile stage and the corresponding number of wheel passes

从表2、图12可以看出，与未考虑轨道几何不平顺的结果相比，考虑轨道几何不平顺情况下每个型面替换时的阶段磨耗发展率和裂纹萌生时的平均磨耗发展率均较小、其中平均磨耗发展率降低约15.92%，同时，每个型面替换阶段的车轮通过次数较多。这是由于未考虑轨道几何不平顺时，轮轨接触位置相对固定，达到设定的磨耗规定值时的车轮通过次数较少、磨耗发展率较高；考虑轨道几何不平顺时，轮轨接触范围和磨耗范围均变宽，磨耗在轨头的分布较分散，因此车轮通过次数较多、磨耗发展率较低。

2.2　钢轨疲劳损伤与裂纹萌生

考虑和未考虑轨道几何不平顺情况下的钢轨疲劳阶段损伤和累积损伤如表3所示，各阶段对应的车轮通过次数参见表2。

从表3可以看出，随着钢轨型面磨耗发展，单次车轮循环对钢轨造成的损伤呈非线性增大的趋势^[8]。将考虑轨道几何不平顺和未考虑轨道几何不平顺的疲劳累积损伤发展和疲劳损伤分布进行对比，如图13,14所示。图14钢轨廓形中的小点为轨头进行疲劳累积计算的点，部分点的疲劳累积损伤较快，以柱状体表示。

图13 疲劳累积损伤发展对比

Fig.13 Comparison of cumulative fatigue damage development

（a） 未考虑几何不平顺

（b） 考虑几何不平顺

图14 疲劳累积损伤分布和累积对比

Fig.14 Comparison of cumulative fatigue damage distribution

从表3和图13,14可以看出，考虑了轨道几何不平顺的情况下，钢轨内部材料点的产生疲劳并持续累积的范围较大，裂纹萌生寿命约为318292次，增大约14.66%。裂纹萌生位置与钢轨中心水平距离17.66mm，与钢轨顶面垂向距离2.87mm，较未考虑不平顺时略远离钢轨中心，如图15所示。

图15 钢轨裂纹萌生位置对比

Fig.15 Comparison of rail RCF crack initiation position

这是由于未考虑轨道几何不平顺时，轮轨接触位置相对固定，钢轨材料也在较小范围发生疲劳损伤积累，因此每个型面替换阶段的疲劳损伤虽然较小，但磨耗较快、型面替换次数较多，造成疲劳损伤累积较快。考虑轨道几何不平顺时，轮轨接触范围和疲劳损伤范围均变宽，每个型面替换阶段的疲劳损伤较大，但磨耗较慢、型面替换次数较少，所以疲劳累积速度较慢，相应的疲劳裂纹萌生寿命较长。

2.3　仿真结果对比与验证

对于仿真结果的对比和验证，可根据其他同类仿真分析和现场观测得到。

目前对金属中萌生疲劳裂纹时的尺寸有不同的界定：临界平面法认为预测到裂纹萌生时的裂纹尺寸为50-500μm。Brustow^[17]从观测可行性角度认为裂纹在表面长度约为2mm时属于萌生范围（按照裂纹深度与表面长度之比为1:4^[18]，则裂纹深度约为0.5mm）。而现场用于检测裂纹深度的涡流检测仪精度通常为0.1mm，因此以裂纹深度0.1mm~0.5mm为萌生尺寸，观测现场与本文仿真同等条件下的重载铁路曲线（半径800m，75kg/m、U75V热处理钢轨），外轨裂纹萌生寿命约为3.52MGT~8.14MGT（百万吨通过总重）^[19]，此时曲线大部分区段的外轨轨距角萌生裂纹，换算成车轮通过次数约为1.53×10⁵~3.54×10⁵次。

此外，Makama等^[20]采用临界平面法预测钢轨疲劳裂纹萌生寿命为9.61×10⁴~1.23×10⁵次车轮通过，同时观测的现场钢轨裂纹萌生寿命为5.10×10⁴~6.07×10⁵次车轮通过；Xin等^[21]采用临界平面法预测道岔辙叉心轨表面的疲劳裂纹萌生寿命为2.1×10⁴次车轮通过（由于辙叉区存在轮轨冲击荷载，裂纹萌生寿命较短）。但上述仿真预测均未考虑磨耗和轨道几何不平顺对轮轨接触状态、廓形变化和疲劳累积的影响，所以结果均比本文预测小。

可见，本文采用考虑轨道几何不平顺情况下的裂纹萌生和磨耗共存预测模型，预测800m半径曲线外轨的轨距角-轨肩疲劳裂纹萌生寿命为318292次车轮通过（约3.18×10⁵次），在上述现场观测的裂纹萌生寿命范围内。

同理，采用本文的方法，将几何不平顺对轮轨接触状态的影响考虑到钢轨疲劳萌生和磨耗发展共存预测中，也可以用于长编组列车作用下的钢轨表面疲劳和磨耗预测，即建立长编组车辆-轨道动力学模型，分别计算每节车辆车轮在不平顺下的轮轨接触位置和接触状态，从而得到相应的接触点分布概率、磨耗量和疲劳损伤，最后叠加所有车轮的磨耗和疲劳损伤。

3 结论

考虑轨道几何不平顺引起的轮轨接触点在轨面的分布概率，改进了钢轨磨耗和疲劳损伤计算方法，完善了裂纹萌生与磨耗发展共存预测模型。

（1）在轨道几何不平顺的影响下，轮轨接触点的位置在轨面一定范围内以一定频率分布，且随着磨耗和型面变化，这个分布范围和分布频率均会变化，由此引起磨耗和疲劳损伤累积的变化。

（2）考虑轨道几何不平顺后，钢轨磨耗形成更宽的磨耗范围，钢轨磨耗发展率相应减小。考虑轨道几何不平顺的曲线外轨钢轨的平均磨耗发展率为3.8131μm/万次，相较未考虑不平顺的结果降低了15.92%。

（3）考虑轨道几何不平顺后，钢轨轨头内部应力影响范围以及疲劳损伤范围相应扩大，裂纹萌生寿命为318292次，相较未考虑不平顺的预测结果增大了14.66%。裂纹萌生位置与钢轨中心水平距离17.66mm，与钢轨顶面垂向距离2.87mm。

参考文献