1 无错向风险的CVA计算

考虑一份权益类衍生品合约，如欧式和百慕大期权，到期日为T，其CVA定义如下^[3]：

CVA=(1-R)E[1{0<τ<T}BτEτ]=(1-R)∫0TE[BτEτ|τ=t]PD(dt), (1)其中，E[·]代表风险中性测度下的期望；τ为交易对手违约时间；R为回收率，1-R即违约损失率；Bt为t时刻的贴现因子，在无风险利率r为常数假设下，Bt=e-rt； 1·是示性函数；Et代表t时刻的暴露，非负；PD(dt)代表交易对手在时段[t,t+dt]内违约的风险中性概率密度（假设时刻t之前没有违约）。等式（1）是CVA一般化的表达式，没有对风险暴露和交易对手违约概率之间的相关性做任何的假设。事实上，业界^[13]普遍采用二者是互相独立的假设，从而得到如下简化的CVA表达式：

其中EEt=E[Et]，代表t时刻暴露的期望，称之为期望暴露。根据Gregory^[3]，准确计算CVA的三要素即是回收率、贴现期望暴露和违约概率。

一般来讲，方程（2）中积分表达式不具有显式解，需要借助于数值积分近似求解。首先，不失一般性，将区间[0,T]等分为0=t0<t1<⋯<tN=T，等分间隔Δt=TN，然后确定{tn}n=1N时刻的期望暴露EEtn≜EEn，最后用违约概率加权求和计算CVA。若利用矩形公式计算数值积分，（2）式近似求解如下：

其中Bn=e-rtn，PDn是[tn-1,tn]内违约的概率。特别地，巴塞尔协议III利用梯形公式计算数值积分^[1]，即：

CVA=(1-R)∑n=1NBnEEn+Bn-1EEn-12PDn=12[(1-R)∑n=1NBnEEnPDn+(1-R)∑n=1NBn-1EEn-1PDn].因此，巴塞尔协议要求的CVA可通过计算（3）式间接得到。假设交易对手违约时刻的概率分布具有如下形式^[5][10][11]：

其中违约强度参数λ通常由市场上的信用违约互换价差数据进行估计^[3]，如假设违约互换期限结构恒为常数^[10][11]，则

其中CS为信用违约互换价差。从而，由（3）式可知，计算CVA的核心是计算期望暴露EEn。下文将分别介绍柳树法及欧式和百慕大期权下柳树法如何定价CVA。

1.1　柳树法期权定价

柳树法^[18]通过构造离散的马尔科夫过程来刻画布朗运动，能处理各种标的资产模型，如GBM^[8]、Merton跳扩散模型^[9]、Heston随机波动率模型^[14]以及一些更复杂的Lévy过程^[19]等等，现已经被广泛用于无违约风险下的欧式、百慕大和亚式期权的定价，如Xu^[18][20][21]。图1展示了一个柳树结构的简单示意图。该柳树结构从初始时刻0到T，有5个离散的时刻，从第二个时刻起，每个时刻都有5个可能的资产价格节点。因此，柳树法的一个优点在于每个离散时刻上的资产价格节点个数是常数，从而总结点个数随时间步长N呈线性增长。

图1 包含5个时刻，5个资产价格节点的

Fig.1 Graphical depiction of the willow tree lattice with 5 space nodes and 5 time nodes

注：柳树结构图

下面以GBM为例来说明柳树构建过程和期权定价过程，其他资产模型构建过程可参考Xu^[21]。首先，资产价格St可表示为

其中S0为零时刻价格，σ为波动率，X为标准正态分布随机变量。根据Xu^[18]，柳树法通过产生{(zi,qi)}i=1m来近似X，其中m为柳树在每一时刻可能的资产价格节点个数，zi为离散的标准正态分布采样点，qi为对应的采样概率^[18]。则tn时刻第i个资产价格Sin可写作

其次，相邻两个时间点tn和tn+1之间存在一个转移概率矩阵用于描述资产价格的变化，记为Pn=[pijn]m×m,n=1,...,N-1，其中pijn代表从Sin转移到Sjn+1的转移概率，i,j=1,2,⋯,m，由概率密度函数计算如下^[13]：

其中

最后，考虑无违约风险下柳树法定价期百慕大期权过程。记Vin为期权在tn时刻第i个节点上的价格，由倒向归纳法计算如下：

其中φ(Sin)=max(δ(Sin-K),0)，参数δ为1（或-1）代表看涨期权（或看跌期权），K为期权敲定价格，cin 为期权在tn时刻第i个节点上的持有价值，由柳树法倒向归纳计算如下

综上，柳树结构的最大特点是每个时刻上的资产价格节点个数是常数，同时这个性质也保证了柳树法后续能用于期望暴露EEn和CVA的计算。

1.2　欧式期权的EEn

考虑一份欧式期权，由于其只在到期日T时刻有现金流，在无WWR情况下，任意时刻期权期望暴露EEn等于该时刻期权价格^[2]。此时（2）式中的CVA简化为^[2][3]

其中EE0为欧式期权在零时刻价格，即EE0=V0，PD(T) 为到期日之前违约概率，则由（10）式可知，柳树法计算无WWR时欧式期权的CVA等价于定价欧式期权。

1.3　百慕大期权的EEn

考虑一份百慕大期权，在任意行权时刻tn，根据文献^[13]中百慕大期权暴露的定义：期权行权，暴露为0；期权持有，暴露等于持有价值，因此，对于柳树法每一节点上的暴露Ein，有

其中cin代表tn时刻期权在第i个节点上的持有价值，边界条件为E0=c0，EiN=0，i=1,2,⋯,m。由于EEn=E[En]，如何基于柳树法计算EEn是计算百慕大期权CVA的关键。

给定柳树结构上tn时刻某个资产价格节点Sin，当期权行权时，因为合约已经终止，未来不再存在暴露，则该点暴露为0，因此，其到tn+1时刻的转移概率为0，即pijn=0,j=1,2,⋯,m；若未行权，则转移概率保持不变。记新的转移概率pijn~为

pijn~=0     期权在Sin行权 pijn   期权在Sin继续持有  j=1,2,⋯m则tn时刻，相应的转移概率矩阵Pn被调整为Pn~=[pijn~]m×m。 由此，柳树法可迭代计算期望暴露，即在tn时刻，计算数学期望EEn如下：

其中qn=q∏k=1n-1Pk~，q=[q1,q2,⋯,qm]，代表柳树从S0转移到暴露En的转移概率向量，暴露向量En=[E1n,E2n,⋯,Emn]T，其中Ein,i=1,2,⋯,m代表tn时刻柳树上第i个节点上的暴露。在tn+1时刻，更新概率向量qn+1=qnPn~，则tn+1时刻期望暴露为

（12）式是柳树法结构能用于百慕大期权下期望暴露计算的核心及区别于蒙特卡洛模拟法的关键。

综上所述，在无WWR时，柳树法可分别单独计算违约概率PDn和期望暴露EEn最后加权求和计算期权的CVA。

2 有错向风险的CVA计算

错向风险（WWR）是描述暴露与交易对手违约概率之间“市场-信用”的正相关性，即违约概率随着交易对手暴露的增加而增加。本章在柳树框架下主要考虑Hull-White强度模型对于CVA计算的影响。 此时由于违约概率与暴露的相关性，CVA无法再通过（2）和（3）式简化计算。

2012年，Hull和White提出了一种金融意义直观的WWR模型^[5]：假设（4）式违约强度是一个时间t和对应时刻无违约风险下期权价格V的函数，记为λ(t)，即

其中Vt是t时刻对应的期权价格，如后续数值试验中欧式或百慕大看跌期权的价格，b∈R+是WWR参数，a(t)是标准化函数。当WWR由（13）式刻画时，结合（2）式和（3）式，Hull-White模型下的CVA的计算表达式修正为^[5][11]：

其中PDn代表此模型下[tn-1,tn]内违约概率。时间依赖函数a(t)通常在给定参数b后由市场上信用违约互换价差数据在所有时间节点{tn}n=1N校准确定，从而形成以下校准问题：

然而，校准问题（15）是一个路径依赖的复杂问题^[11]。由（13）式，对于任意区间[tn-1,tn],n=1,2,⋯,N，定义过程ηn满足如下关系式：

其中λn≜λ(tn)，是一个随机变量。同时，（15）式可进一步写作

若令（17）式等号两端同时除以左端exp(-CS1-RnΔt)项，则成立

基于（18）式，本文有以下定理，用于迭代校准a(t)。

定理 1在柳树法定价期权框架（8）下，给定转移概率矩阵Pn=[pijn]m×m，期权价格Vin，∀i,j=1,2,⋯,m,n=1,2,⋯,N,信用违约互换价差CS，回收率R和参数b，校准问题（15）等价于：对时间节点n=1,2,⋯,N，柳树节点i=1,2,⋯,m，成立

其中ηin=exp(-λinΔt+CS1-RΔt)，系数win表示概率，由下式迭代给出：

证明首先，当n=1时，即对于区间[t0,t1]，由（18）式数学期望可知：

令wi1≜qi，则定理成立。当n>1时，一方面，计算 ∑i=1mwinηin如下：

∑i=1mwinηin=∑i=1mηin[∑jn-1=1mpjn-1in-1ηjn-1n-1wjn-1n-1]=∑i=1mηin[∑jn-1=1mpjn-1in-1ηjn-1n-1[∑jn-2=1mpjn-2jn-1n-2ηjn-2n-2wjn-2n-2]].以此类推，通过连续代入wjn-2n-2直至wj11可得

另一方面，在柳树结构下，∏k=1nηk可写成离散形式∏k=1nηjkk,∀jk=1,2,⋯,m，在柳树结构下对应有的转移概率为qj1∏k=1n-1pjkjk+1k。因此成立

E[∏k=1nηk]=∑jn=1m⋯∑j1=1m(∏k=1nηjkk)(qj1∏k=1n-1pjkjk+1k)=∑jn=1mηjnm[∑jn-1=1mpjn-1jnn-1ηjn-1n-1⋯⋯[∑j1=1mpj1j21ηj11qj1]].由于当n=1时，wj11≜qj1,∀j1=1,2,⋯,m，则结合（20）式，我们可以得到，

从而由（18）可以得到∑i=1mwinηin=1，即定理（19）式得证。最后，由win定义可知win>0,∀i=1,2,⋯,m，对n=1，成立

对n>1，成立

这是因为一方面柳树结构中转移概率行和等于1，即∑i=1mpjin-1=1,∀j=1,2,⋯,m成立，另一方面∑j=1mηjn-1wjn-1=1已经证明成立，从而说明{win}是概率。综上，定理证毕。

由此，我们可以给出柳树法利用定理1逐步迭代校准{an}n=1N的算法：

算法 1在柳树法定价期权框架（8）下，给定转移概率矩阵Pn=[pijn]m×m，期权价格Vin，∀i,j=1,2,⋯,m,n=1,2,⋯,N，信用违约互换价差CS，回收率R和参数b，柳树法利用定理1校准{an}n=1N如下：

步骤一：对时间节点n=1，柳树节点i=1,2,⋯,m，求解如下一元非线性方程得到a1：

其中，

步骤二：对时间节点n=2,⋯,N，柳树节点i=1,2,⋯,m，wi1=qi，求解如下一元非线性方程得到an：

其中，

综上，本文通过柳树结构迭代计算a(t)，避免了Hull和White^[5]所给算法的路径依赖性。因此该WWR模型一旦在给定参数b下，由算法1校准得到一系列an后，则对于tn时刻柳树节点i=1,2,⋯,m处暴露对应的[tn-1,tn]内违约概率PDin可写作

其中Vin为该点期权价格。上式说明tn时刻柳树上每一节点暴露对应的违约概率是不同的，因此，由无WWR下期望暴露的计算公式（12）式可知，（14）式中数学期望可计算为：

其中暴露向量En与无WWR时一致，而违约概率PDn=[PD1n,PD2n,⋯,PDmn]T，由（21）式确定，从而Hull-White错向风险模型下柳树法计算CVA如下：

3 CVA数值实验

本章基于不同标的资产模型，以GBM和Merton跳扩散模型为例，对Hull-White错向风险模型中不同参数下的CVA进行定价分析，同时以欧式和百慕大看跌期权为产品（看涨期权同理），比较柳树法与解析公式或蒙特卡洛模拟方法的数值结果。所有数值实验的程序均在操作系统为64位Windows10家庭版的计算机上运行，内存为8GB ，处理器为Intel(R) Core(TM) i7-6700U CPU@2.80GHz，使用的软件版本为Matlab R2018a 。

实验中，对于GBM，柳树法中资产价格节点个数m=30；对于更复杂的Merton跳扩散模型，m=50。离散时间步数N=100，蒙特卡洛方法的模拟路径数为5×104。回收率R=0.4。实验比较了不同的初始股票价格S0，不同的信用互换价差数据下柳树法和蒙特卡洛方法的表现，其中符号‘CS’代表信用违约互换价差。记号‘WT’代表柳树法，‘MC’代表蒙特卡洛模拟，以运行10次求平均值作为参考值，‘s.d.’代表蒙特卡洛的标准差，‘B-S’、‘M-J’分别代表由Gregory^[5]列出的在GBM和Merton跳扩散模型下无WWR的欧式期权的CVA解析公式。

首先，考虑GBM，固定欧式和百慕大期权的敲定价格K=100，利率r=0.05，波动率σ=0.1，到期日T=1。然后选取了不同的初始价格S0和不同的信用价差CS，从表1可以看出，在无WWR时，对于欧式期权，柳树法的定价结果与Gregory^[5]解析公式非常接近；而对于百慕大期权，柳树法数值结果与文献常用的最小二乘蒙特卡洛^[22]结果相近，相对误差均低于1%，其中蒙特卡洛的标准差至少为10-3量级。这充分说明了柳树法的准确性。从计算时间上来看，在给定资产价格节点个数m和时间节点个数N时，其他参数的变化并没有影响柳树法的计算时间，但是，柳树法的计算时间则少于蒙特卡洛方法。

接下来，讨论错向风险对于CVA计算的影响，其中Hull-White模型参数b在本文中取b=0.01。从表2可以看出，柳树法在欧式期权和百慕大期权下定价CVA的数值结果与蒙特卡洛模拟相比均十分接近，其中蒙特卡洛的标准差同样至少为10-3量级。同样，柳树法在计算时间上均具有明显优势。

其次，从GBM拓展到更复杂的标的资产模型，Merton跳扩散模型。欧式和百慕大期权的敲定价格K=100，利率r=0.05，波动率σ=0.1，到期日T=1，跳扩散模型跳跃强度为0.1，跳跃幅度满足对数正态分布，均值为-0.05，标准差为0.05^[17]。从表3看出，选取不同的初始价格S0和不同的信用价差CS，柳树法在欧式和百慕大期权下的CVA数值结果蒙特卡洛相比也十分接近，其中蒙特卡洛标准差至少为10-3量级，同时在计算时间上有一定优势。这说明柳树法在更复杂的资产模型下同样表现优秀。

进一步，将Hull-White错向风险模型应用到Merton跳扩散模型。从表4可以看出，柳树法在欧式和百慕大期权下的CVA计算与蒙特卡洛相比十分接近，其中蒙特卡洛标准差同样至少为10-3量级，但柳树法在计算时间上有优势。

此外，考虑Hull-White错向风险模型参数b对于CVA计算的影响。参数选取如下^[11]：S0=100，K=100，r=0.01，T=1，σ=0.25，信用价差为0.0125，跳扩散模型参数同表3，考虑不同参数b对GBM和跳

图2 GBM下欧式和百慕大看跌期权CVA随参数b的变化趋势图

Fig.2 CVA profiles for European and Bermudan put options as function of parameterbunder GBM

图3 跳扩散模型下欧式和百慕大看跌期权CVA随参数b的变化趋势图

Fig.3 CVA profiles for European and Bermudan put options as function of parameterbunder jump-diffusion model

扩散模型下CVA计算的影响。由表1到表4可知，柳树法计算CVA效率更高，因此这里以柳树法为例来说明CVA与Hull-White模型参数b的关系。图2和图3分别画出了GBM和跳扩散模型下欧式和百慕大看跌期权的CVA随参数b变化的趋势图。一方面，由图可知，随着b的不同变化，两种标的资产模型下欧式和百慕大期权的CVA变化趋势较为一致，其中欧式期权的CVA对于参数b变化比较敏感，而百慕大期权CVA几乎不受参数b的影响。这与Baviera^[11]得出结论相吻合，即当标的资产处于提前行权区域时，百慕大期权由于行权暴露降为0，而欧式期权由于不具有提前行权特性只能一直持有到到期日，导致其CVA值变化敏感。另一方面，Hull和White对参数b的确定有如下说明^[5]：第一，参数b可根据（13）式由交易对手信用互换价差的历史搜集数据进行估计，但这种方式容易受到其他外在因素影响，导致b难以准确估算。第二，通过衍生品价格变化主观判断选择合适的参数b，一般小于0.1。综上所述，对于Hull-White错向风险模型，尤其应用于具有提前行权特性的期权CVA的计算时，本文在其它文献^[10][11]参数b的选取基础上根据互换价差数据来校准a(t)，然后计算带有Hull-White错向风险的CVA。

最后，考虑CVA在两种期权同样参数下以及有无WWR下的数值比较。一方面，从表1到表4，可以看出，欧式期权下的CVA与百慕大期权下的CVA数值上明显不同，并且欧式期权下的CVA数值较大，这是因为百慕大期权给与期权持有者更多主动行使期权的机会，从而降低了持有者将来时刻的暴露，降低了CVA。另一方面，考虑错向风险的Hull-White模型下的CVA基本比无错向风险下的CVA数值要大。通过计算，其比值介于1.02-1.40之间，这与巴塞尔协议III中错向风险系数1.2≤α≤1.4较为吻合，也证实了错向风险会增大CVA的结论。

4 总结

场外衍生品交易中交易对手信用风险逐渐成为全球金融机构面临的主要风险之一，而交易对手违约概率与市场风险相结合又容易导致额外的风险，即错向风险。CVA作为交易对手信用风险的风险中性定价，其计算成为业界资本计提和学界关注的热点。目前现有文献计算CVA的方法通常基于蒙特卡洛模拟，计算复杂，工作量大。因此，首次提出了一种基于柳树树状结构快速定价错向风险模型下CVA的算法。一方面，文中指出在无WWR时计算CVA的核心是计算期望暴露，并详细给出了欧式和百慕大期权下柳树法如何计算期望暴露的算法；另一方面，用Hull-White模型刻画WWR时，通过柳树结构校准该模型中的时间依赖函数a(t)从而调整新的违约概率。数值实验以几何布朗运动和跳扩散模型下欧式和百慕大期权下的CVA计算为例，表明柳树法与现有方法相比有相同的计算精度，但计算速度更快，同时柳树法在Hull-White错向风险模型下能拟合市场上信用违约互换价差数据，实用性较高。此外，柳树法能扩展到更复杂的标的资产价格模型下CVA的计算中，如随机波动率和Lévy过程等，适用范围广。下一步工作方向将是研究Copula模型和违约跳模型等对于CVA计算的影响以及计算欧式和百慕大互换期权下的CVA。

参考文献