自伴算子代数上保持乘积的<inline-formula></inline-formula><bold>-</bold>数值半径映射的刻画

张艳芳，方小春; ZHANG Yanfang; FANG Xiaochun

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摘要

令 $B_{s} (H)$ 为复Hilbert空间 $H$ 上自伴的有界线性算子全体组成的实Jordan代数。给出 $B_{s} (H)$ 上保持算子乘积 $c$ -数值半径的满射的刻画。进而对一类特殊的 $c$ ，刻画了 $B_{s} (H)$ 上保持算子乘积的 $c$ -数值域的满射。

关键词

$c$ -数值半径; $c$ -数值域; 保持问题.

1 引言

矩阵代数和算子空间上保持特定性质的映射的刻画问题,是算子理论和算子代数的一个重要研究方面。 $c$ -数值域和 $c$ -数值半径，作为矩阵和算子的一类重要概念，在量子计算和量子纠错码方面有广泛的应用，因此也被许多学者研究^[

1,2,3]。

令 $R$ 表示实数域且设 $c = (c_{1}, \dots, c_{k})^{t r} \in R^{k}$ ， $H$ 是复 Hilbert 空间且 $d i m (H) \geq k$ ，对于 $H$ 上的任一有界线性算子 $A$ ，

$\begin{array}{l} W_{c} (A) = {\sum_{i = 1}^{k} c_{i} <A x {}_{i}, x_{i}> : x_{1}, . . ., x_{k} 是 H 的一组 \\ \begin{matrix} \end{matrix} 正交单位向量} \end{array}$

和

$r_{c} (A) = s u p {| λ | : λ \in W_{c} (A)}$

分别称为 $A$ 的 $c$ -数值域和 $c$ -数值半径。特别地，当 $k = 1$ 且 $c_{1} = 1$ 时，就得到 $A$ 的数值域和数值半径。不难看到，将 $c$ 的分量按照降序排列后并不改变算子的 $c$ -数值域和 $c$ -数值半径，因此在本文中总假设 $c_{1} \geq \dots \geq c_{k}$ 。

令 $F$ 代表 $c$ -数值域或 $c$ -数值半径，设 $Ω$ 是一个集合，映射 $T : Ω \to Ω$ 满足：

$F (T (A) \circ T (B)) = F (A \circ B)$

$(1)$

对任意的 $A, B \in Ω$ 都成立。文献[

4]刻画了当

$Ω$ 为

$n$ 阶矩阵代数，

$\circ$ 代表矩阵减法，

$F$ 为

$c$ -数值半径时，映射

$Τ$ 的形式。之后文献[5]中刻画了当

$Ω$ 为复Hilbert空间上有界线性算子全体组成的代数，

$\circ$ 代表算子乘法且

$F$ 为

$c$ -数值域时，映射

$T$ 的形式。

本文主要研究了自伴算子空间上保持算子乘积的 $c$ -数值半径的满射形式。即刻画了当 $Ω$ 为复Hilbert空间上自伴的有界线性算子全体组成的实Jordan代数， $\circ$ 代表矩阵乘法且 $F$ 为 $c$ -数值半径时，满足式 $(1)$ 的满射 $T$ 的形式。由于映射保持算子乘积的 $c$ -数值半径是该映射保持算子乘积的 $c$ -数值域的必要条件，进而对于一类特殊的 $c$ ，给出保持算子乘积 $c$ -数值域满射的刻画。本文的主要结构如下：第二部分给出自伴算子代数上保持算子乘积的 $c$ -数值半径的满射的刻画。第三部分中，对于一类特殊的 $c$ 研究了自伴算子代数上保持算子乘积的 $c$ -数值域的映射。

下面介绍本文用到的主要符号：令 $C$ 表示复数域，令 $H$ 是复 Hilbert 空间，记 $H$ 上有界线性算子全体组成的代数为 $B (H)$ ，其中的自伴算子全体组成的子代数记为 $B_{s} (H)$ ，并将单位算子记为 $I$ 。对于任意 $x, f \in H$ ， $x \otimes f$ 表示 $H$ 上的一个秩一算子且对 $z \in H$ ， $(x \otimes f) z = <z, f> x$ 。且每个秩一算子都可以表示成这样的形式。对于 $H$ 的一组就范正交集 ${\{e_{i}\}}_{i \in Γ}$ ，任意的 $x \in H$ 都能表示为 $x = \sum_{i \in Γ} ξ_{i} e_{i}$ ，其中 $ξ_{i} \in C$ 。定义一个算子 $J : H \to$ $H$ ，其作用为 $J x = \bar{x} = \sum_{i \in Γ} {\bar{ξ}}_{i} e_{i}$ 。算子 $A$ 的共轭算子记为 $\bar{A}$ ，其形式为 $\bar{A} = J A J$ 。易知 $<\bar{A} e_{i}, e_{j}> =$ $\bar{<A e_{i}, e_{j}>}$ 对于任意 $i, j \in Γ$ 都成立。

2 保持算子乘积的 $c$ -数值半径的映射

定理 1 设 $c \in R^{k}$ 满足 $c_{i}$ ’s不全相等， $H$ 为复Hilbert空间。若 $Φ : B_{s} (H) \to B_{s} (H)$ 是满射且当 $d i m (H) = 2$ 时， $Φ (I)$ $= \pm I$ ，那么

$r_{c} (Φ (A) Φ (B)) = r_{c} (A B), \begin{matrix} A, B \in B_{s} (H) \end{matrix}$

$(2)$

成立当且仅当存在 $H$ 上的酉算子 $U$ 和泛函 $f : B_{s} (H)$ $\to {- 1,1}$ 使得:

$Φ (A) = f (A) U A U^{*}$

对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 都成立，或者

$Φ (A) = f (A) U J A J U^{*}$

对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 都成立。

为了证明该定理，需要用到以下几个引理。

引理 1 设 $c \in R^{k}$ 满足 $c_{i}$ ’s不全相等,若 $T$ 是 $B (H)$ 上的秩一算子，则：

(1) $T$ 的 $c$ -数值域是以 ${\tilde{c}}_{1} t r (T)$ 和 ${\tilde{c}}_{k} t r (T)$ 为焦点, $({\tilde{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}) \sqrt[]{| | T | |^{2} - | t r (T) |^{2}}$ 为短轴长的椭圆盘或以 ${\tilde{c}}_{1} t r (T)$ 和 ${\tilde{c}}_{k} t r (T)$ 为端点的线段；

(2) $T$ 的 $c$ -数值半径是：

$\frac{|{\tilde{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}|}{2} | | T | | + \frac{|{\tilde{c}}_{1} + {\tilde{c}}_{k}|}{2} | t r (T) |$

其中：

${\tilde{c}}_{1} = \{\begin{matrix} c_{1}, & 若 d i m H = k \\ m a x {c_{1}, 0}, & 若 d i m H > k \end{matrix}$

${\tilde{c}}_{k} = \{\begin{matrix} c_{k}, & 若 d i m H = k \\ m i n {c_{k}, 0}, & 若 d i m H > k \end{matrix}$

证明： (1) 见文献[

5]。

(2) 由第1节知 $W_{c} (T)$ 是椭圆或者线段,若 $W_{c} (T)$ 是椭圆,那么 $r_{c} (T)$ 是 $\frac{|{\tilde{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}|}{2} | | T | |$ 与半长轴 $a$ 之和，即得 $r_{c} (T) = \frac{|{\tilde{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}|}{2} | | T | | + \frac{|{\tilde{c}}_{1} + {\tilde{c}}_{k}|}{2} | t r (T) |$ 。若 $W_{c} (T)$ 是线段,则 $| | T | | = | t r (T) |$ ，从而有：

$r_{c} (T) = m a x {|{\bar{c}}_{1} t r (T)|, |{\tilde{c}}_{k} t r (T)|}$

引理1得证。

引理 2 设 $A, B \in B_{s} (H)$ ，则下列说法成立：

(1) 若 $| | A | | = | | B | |$ ，则 $A = \pm B$ 。

(2) 若 $r_{c} (A x \otimes x) = r_{c} (B x \otimes x)$ 对所有的 $x \in H$ 都成立，则 $A = \pm B$ 。

证明： (1) 见文献[

6]。

(2) 对于 $A, B \in B_{s} (H)$ 和任意 $x \in H$ ,有:

$(\frac{|{\tilde{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}|}{2} + \frac{|{\tilde{c}}_{1} + {\tilde{c}}_{k}|}{2}) | | A x | | \cdot | | x | |$

$\begin{matrix} \geq \end{matrix} \frac{|{\bar{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}|}{2} <A x, x> + \frac{|{\bar{c}}_{1} + {\tilde{c}}_{k}|}{2} | | A x | | \cdot | | x | |$

$\begin{matrix} = \end{matrix} \frac{|{\bar{c}}_{1} - {\tilde{c}}_{k}|}{2} <B x, x> + \frac{|{\bar{c}}_{1} + {\tilde{c}}_{k}|}{2} | | B x | | \cdot | | x | |$

由于 $B$ 自伴，可得：

$| | B | | = r_{c} (B) = s u p {|<B x, x>| : | | x | | = 1}$

所以 $| | A | | \geq | | B | |$ 。同理可得 $| | B | | \geq | | A | |$ ，得证。

引理3 设 $A, B, D \in B_{s} (H)$ ，若 $A B \in C I \ {0}$ 且 $B D \in C I \ {0}$ ，则 $A, B, D$ 均可逆且存在非零实数 $t$ ，使得 $A = t D$ 。

证明：对于 $A, B \in B_{s} (H)$ ， ${(A B)}^{*} = B A$ 且 $A B$ 与 $B A$ 有相同的非零谱值。由 $A B \in C I \ {0}$ ，可知 $A B$ 与 $B A$ 有相同的单点谱。因此 $A B = B A$ 且都属于 $R I \ {0}$ 。同理可得 $B D \in R I \ {0}$ 。从而存在非零实数 $t$ 使得 $A = t D$ 。

下面引理是著名的Wigner定理，它是量子力学中起重要作用的基础性定理。关于它的进一步研究,请参考文献[

7]。

引理 4 令 $H$ 是复Hilbert空间， $Δ : H \to H$ 是一个双射，并且对任意的 $x, y \in H$ 满足:

$|<x, y>| = |<Δ (x), Δ (y)>|$

那么

$\begin{matrix} Δ (x) = δ (x) U x, & x \in H \end{matrix}$

其中 $U : H \to H$ 是酉算子或共轭酉算子，泛函 $δ : H \to C$ 满足 $| δ (x) | \equiv 1$ 。

引理 5 ^[

8] 令

${M_{2}}^{s}$ 表示2阶Hermitian矩阵全体组成的集合。设满射

$Φ : {M_{2}}^{s} \to {M_{2}}^{s}$ 对于

$A, B \in {M_{2}}^{s}$ 满足:

$A B = 0 \Leftrightarrow Φ (A) Φ (B) = 0$

$(3)$

那么 $Φ$ 双边保持秩一矩阵，即 $T \in {M_{2}}^{s}$ 是秩一矩阵当且仅当 $Φ (T)$ 是秩一矩阵。

接下来完成定理1的证明。

定理 1证明由 $c$ -数值半径的酉不变和共轭酉不变性以及 $r_{c} (A) = r_{c} (\bar{A})$ 的事实易得充分性,故只给出必要性的证明。下分 $d i m H \geq 3$ 和 $d i m H = 2$ 两种情形来证明。

情形1： $d i m H \geq 3$

当 $\sum_{i = 1}^{k} c_{i} \neq 0$ 时，已知 $r_{c} (A) = 0 \Leftrightarrow A = 0$ ，显然此时 $Φ$ 满足式 $(3)$ 。

当 $\sum_{i = 1}^{k} c_{i} = 0$ 时，由 $c$ -数值半径的性质可知，算子 $A$ 是单位算子的常数倍当且仅当 $r_{c} (A) = 0$ ，接下来证明此时式(3)仍然成立。易证 $Φ (A) = 0 \Leftrightarrow A = 0$ 。若式(3)不成立，则存在非零的 $A_{0}, B_{0} \in B_{s} (H)$ 满足:

$A_{0} B_{0} = 0$ 且 $Φ (A_{0}) Φ (B_{0})$ $\in C I \ {0}$

由引理4， $Φ (A_{0})$ , $Φ (B_{0})$ 都可逆。由于 $d i m H$ 不小于3,从而 $A_{0}$ 的零子空间 $k e r (A_{0})$ 和 $B_{0}$ 的零子空间 $k e r (B_{0})$ 至少有一个维数不小于2，不妨设 $k e r (A_{0})$ 的维数大于等于2。取正交的 $x, y \in k e r (A_{0})$ ,令 $E =$ $x \otimes x$ ,易知 $A_{0} E$ 的 $c$ -数值半径为 $0$ 。如果 $Φ (A_{0}) Φ (E) = 0$ ，那么有 $Φ (E) = 0$ ，进而 $E = 0$ ，不可能，说明 $Φ (A_{0}) Φ (E) \in C I \ {0}$ 。令 $D =$ $y \otimes y$ ,同理可得 $Φ (D) Φ (A_{0}) \in$ $C I \ {0}$ 。由引理4知，存在非零实数 $t$ 使得 $Φ (E) = t Φ (D)$ 。由 $E D = 0$ 可知 $Φ (E) Φ (D) \in C I$ 。从而 $Φ (E)$ 和 $Φ (D)$ 都属于 $C I \ {0}$ ，所以 $r_{c} (Φ {(E)}^{2}) = 0$ 。但由引理1知 $r_{c} (E^{2}) \neq 0$ ，矛盾。故对所有自伴算子 $A, B$ 都有:

$A B = 0 \Rightarrow Φ (A) Φ (B) = 0$

类似地可以说明 $Φ (A) Φ (B) = 0 \Rightarrow$ $A B = 0$ 。因此得 $Φ$ 符合式(3)。由文献[

6]中的引理2.1知，存在

$H$ 上的酉算子

$U$ 和泛函

$g : B_{s} (H) \to R \ {0}$ 使得：

$Φ (T) = g (T) U T U^{*}$

$(4)$

对所有秩一 $T \in B_{s} (H)$ 都成立，或者

$Φ (T) = g (T) U J T J U^{*}$

$(5)$

对所有秩一 $T \in B_{s} (H)$ 都成立。

由已知 $r_{c} (Φ {(T)}^{2}) = r_{c} (T^{2})$ ，可得：

$| g (T) |^{2} r_{c} (U T U^{*}) = r_{c} (T)$

从而 $g (T) \in {- 1,1}$ 对所有秩一 $T \in B_{s} (H)$ 都成立。

对于 $A \in B_{s} (H)$ ，定义:

$Ψ (A) =$

$\{\begin{matrix} U^{*} Φ (A) U, \begin{matrix} 若 Φ 满足式 (4) \end{matrix} \\ J U^{*} Φ (A) U J, \begin{matrix} 若 Φ 满足式 (5) \end{matrix} \end{matrix}$

显然 $Ψ (T) = g (T) T$ 对所有秩一 $T \in B_{s} (H)$ 成立。故对于任意秩大于1的 $A \in B_{s} (H)$ 和 $x \in H$ 都有：

$r_{c} (A x \otimes x) = r_{c} (Φ (A) Φ (x \otimes x)) = r_{c} (Ψ (A) x \otimes x)$

由引理2知， $Ψ (A) = \pm A$ 。所以存在泛函 $h : B_{s} (H)$

$\to {- 1,1}$ 使得 $Ψ (A) = h (A) A,$ $A \in B_{s} (H)$ ，显然对所有自伴秩一算子 $T$ 都有 $h (T) =$ $g (T)$ 。

情形2： $d i m H = 2$

此时 $B (H) ≅ M_{2} (C)$ ，此处 $M_{2} (C)$ 是指二阶复

矩阵全体组成的代数。首先说明 $Φ : {M_{2}}^{s} \to$ ${M_{2}}^{s}$ 双边保秩一性。

若 $c_{1} + c_{2} \neq 0$ ，则 $r_{c} (A) = 0$ 当且仅当 $A = 0$ ，从

而 $Φ$ 满足式 $(3)$ 。再由引理5， $Φ$ 双边保持秩一性。

若 $c_{1} + c_{2} = 0$ ，可证明 $A = 0$ 当且仅当 $Φ (A) = 0$ 。实际上若 $Φ (A) = 0$ ，对任意 $x \in C^{2}$ ， $r_{c} (A x \otimes x)$ $= 0$ ，从而 $A x \otimes x \in C I$ ，所以 $A = 0$ 。

令 $P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ ， $P_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 。设

$Φ (P_{1}) = Q_{1} = (\begin{matrix} a_{1} & a_{12} \\ {\bar{a}}_{12} & a_{2} \end{matrix})$

且 $Q_{1}$ 有特征值 $λ_{1}$ 和 $λ_{2}$ ，易知：

$λ_{1} = \frac{a_{1} + a_{2} + \sqrt[]{(a_{1} - a_{2})^{2} + 4 | a_{12} |^{2}}}{2}$

$(6)$

以及

$λ_{2} = \frac{a_{1} + a_{2} - \sqrt[]{(a_{1} - a_{2})^{2} + 4 | a_{12} |^{2}}}{2}$

$(7)$ 由于

$r_{c} (P_{1}) = c_{1}$ 且 $r_{c} (Q_{1}) = c_{1} | λ_{1} - λ_{2} |$

因此

$| λ_{1} - λ_{2} | = 1$

$(8)$

由 $r_{c} ({P_{1}}^{2}) = r_{c} ({Q_{1}}^{2})$ 得 $c_{1} = c_{1} | {λ_{1}}^{2} - {λ_{2}}^{2} |$ 。所以

$| λ_{1} + λ_{2} | = 1$

$(9)$

式 $(8)$ 和式 $(9)$ 表明 $λ_{1} λ_{2} = 0$ 。这意味着 $Q_{1}$ 只有一个非零特征值 $1$ 或 $- 1$ ，从而 $Φ (P_{1})$ 是秩一的。设 $Q_{2} = Φ (P_{2})$ ,同理可以说明 $Q_{2}$ 也是秩一的,且它的非零特征值为 $1$ 或 $- 1$ 。显然 $Q_{1} Q_{2} = Q_{2} Q_{1} = 0$ ，因此，存在 $C^{2}$ 上酉矩阵 $U_{0}$ 使得 ${U_{0}}^{*} Q_{1} U_{0} = \pm P_{1}$ 和 ${U_{0}}^{*} Q_{2} U_{0} = \pm P_{2}$ 同时成立。令 $Ψ (A) = {U_{0}}^{*} Φ (A) U_{0}$ 对所有 $A \in {M_{2}}^{s}$ 都成立，则只要 $A$ 或 $B$ 是秩一的，就有：

$r_{c} (Ψ (A) Ψ (B)) = r_{c} (A B)$

对于秩一Hermitian矩阵 $T$ ，若 $T \in R P_{1} \cup R P_{2}$ ,

则 $Φ (T)$ 一定是秩一的，若 $T \notin R P_{1} \cup R P_{2}$ ，设:

$T = (\begin{matrix} t_{1} & t_{12} \\ {\bar{t}}_{12} & \frac{| t_{12} |^{2}}{t_{1}} \end{matrix})$ ，

$t_{1} t_{12} \neq 0$

且设:

$Ψ (T) = (\begin{matrix} s_{1} & s_{12} \\ {\bar{s}}_{12} & s_{2} \end{matrix})$

其特征值 $μ_{1} \geq μ_{2}$ ,则 $μ_{1}$ , $μ_{2}$ 有式 $(7)$ 和 $(8)$ 的形式。由

$r_{c} (Ψ (T) Ψ (I)) = r_{c} (T)$

可得：

$2 c_{1} (μ_{1} - μ_{2}) = 2 c_{1} (t_{1} + \frac{| t_{12} |^{2}}{t_{1}})$ ，

即：

$(s_{1} - s_{2})^{2} + 4 | s_{12} |^{2} = (t_{1} {+ \frac{| t_{12} |^{2}}{t_{1}})}^{2}$

$(10)$

又由 $r_{c} (Ψ (T) Ψ (P_{1})) = (\begin{matrix} s_{1} & 0 \\ {\bar{s}}_{12} & 0 \end{matrix})$ 或 $(\begin{matrix} - s_{1} & 0 \\ - {\bar{s}}_{12} & 0 \end{matrix})$ 可得：

$r_{c} (Ψ (T) Ψ (P_{1})) = 2 c_{1} \sqrt[]{{s_{1}}^{2} + | s_{12} |^{2}}$

同理考虑 $r_{c} (T P_{1})$ ,可得：

${s_{1}}^{2} + {|s_{12}|}^{2} = {t_{1}}^{2} + {|t_{12}|}^{2}$

$(11)$ 由

$r_{c} (T P_{2}) = r_{c} (Ψ (T) Ψ (P_{2}))$

可得：

${s_{2}}^{2} + | s_{12} |^{2} = | t_{12} |^{2} + \frac{| t_{12} |^{4}}{{t_{1}}^{2}}$

$(12)$

通过比较式 $(11)$ 和 $(12)$ ，得到：

$\frac{{s_{1}}^{2} + | s_{12} |^{2}}{{s_{2}}^{2} + | s_{12} |^{2}} = \frac{{t_{1}}^{2}}{| t_{12} |^{2}}$

$(13)$

将式 $(13)$ 代入式 $(11)$ ，得到：

${t_{1}}^{2} = \frac{({s_{1}}^{2} + | s_{12} |^{2})^{2}}{{s_{1}}^{2} + 2 | s_{12} |^{2} + {s_{2}}^{2}}$

$(14)$

再将式 $(14)$ 代入式 $(10)$ ，可得：

$s_{1} s_{2} = | s_{12} |^{2}$

所以 $Ψ (T)$ 是秩一的，从而 $Φ (T)$ 也是秩一的。类似地,对任一 $T \in {M_{2}}^{s}$ ,若 $Φ (T)$ 是秩一矩阵,也可证明 $T$ 是秩一矩阵。

至此已经得到 $Φ$ 双边保持秩一,即对任意 $x \in C^{2}$ ,存在 $u_{x} \in C^{2}$ 和泛函 $g : C^{2} \to R$ 使得：

$Φ (x \otimes x) = g (x \otimes x) u_{x} \otimes u_{x}$

由 $r_{c} ({(x \otimes x)}^{2}) = r_{c} (Φ {(x \otimes x)}^{2})$ 可得：

$g (x \otimes x) \in \{- 1,1\}$

对所有 $x \in C^{2}$ 都成立。定义单射 $V : C^{2} \to C^{2}$ ，其作用为 $V x = u_{x}$ 。由于 $Φ$ 是满射且双边保持秩一，因此 $V$ 是满射。因为

$r_{c} ((x \otimes x) (y \otimes y))$

$= r_{c} (g (x \otimes x) g (y \otimes y) (V x \otimes V x) (V y \otimes V y))$

从而有：

$|<x, y>| | | x | | \cdot | | y | | = |<V x, V y>| | | V x | | \cdot | | V y | |$

即对任意 $x$ , $y$ 都有 $|<V x, V y>| = |<x, y>|$ 。由引理4,存在 $C^{2}$ 上的酉矩阵 $U$ 和泛函 $ξ : C^{2} \to \{t \in C : |t| = 1\}$ 使得： $V x = ξ (x) U x$ 对所有的 $x \in C^{2}$ 成立，或 $V x = ξ (x) U J x$ 对所有的 $x \in C^{2}$ 成立。所以，对于 ${M_{2}}^{s}$ 上的秩一矩阵 $x \otimes x$ ，下列之一成立：

$Φ (x \otimes x) = g (x \otimes x) \bar{ξ (x)} ξ (x) U x \otimes U x$

$= g (x \otimes x) U x \otimes U x$

$(15)$ 或

$Φ (x \otimes x) = g (x \otimes x) \bar{ξ (x)} ξ (x) U J x \otimes U J x$ $= g (x \otimes x) U J x \otimes U J x$ $(16)$ 对任意的 $A \in {M_{2}}^{s}$ ,定义:

$ϒ (A) =$

$\{\begin{matrix} U^{*} Φ (A) U, \begin{matrix} 若 Φ 满足式 (15) \end{matrix} \\ J U^{*} Φ (A) U J, \begin{matrix} 若 Φ 满足式 (16) \end{matrix} \end{matrix}$

显然, $ϒ (x \otimes x) = g (x) x \otimes x$ 对所有 $x \in C^{2}$ 都成立。那么对于可逆的 $A \in {M_{2}}^{s}$ 和任意 $x \in C^{2}$ 都有：

$r_{c} (A) = r_{c} (ϒ (A) ϒ (x \otimes x))$

由引理3，存在泛函 $h : {M_{2}}^{s} \to \{- 1,1\}$ 使得：

$ϒ (A) = h (A) A$

对所有 $A \in {M_{2}}^{s}$ 成立，其中，当 $r a n k A = 1$ 时, $h (A) =$ $g (A)$ 。定理1得证。

3 保持乘积的 $c$ -数值域的映射

这部分给出自伴算子代数上一类保持算子乘积的 $c$ -数值域映射的刻画。

定理 2 设 $c \in R^{k}$ 满足 $c_{1} + c_{k} \neq 0$ , $H$ 为复Hilbert 空间。若 $Φ : B_{s} (H)$ $\to B_{s} (H)$ 是满射且当 $d i m (H) = 2$ 时， $Φ (I) = \pm 1$ ，那么：

$W_{c} (Φ (A) Φ (B)) = W_{c} (A B)$

$(17)$

对任意 $A, B \in B_{s} (H)$ 都成立，当且仅当存在 $H$ 上酉算子 $U$ 使得：

$Φ (A) = \pm U A U^{*}$

对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 都成立。

定理 2的证明需要用到以下引理，它来自文献[

5]的引理2.5。

引理 6 设 $T, S \in B (H)$ 都是秩一的且满足 $W_{c} (T) = W_{c} (S)$ ,那么：

(1) 当 $c_{1} + c_{k} \neq 0$ 时， $t r (S) = t r (T)$ ；

(2) 当 $c_{1} + c_{k} = 0$ 时， $t r (S) = \pm t r (T)$ 。

最后完成定理 2 的证明。

定理 2证明：充分性显然，因此只给出必要性的证明。由于满射 $Φ : B_{s} (H) \to B_{s} (H)$ 符合式 $(2)$ ，那么 $Φ$ 具有定理1的形式，即存在 $H$ 上的酉算子 $U$ 和泛函 $f : B_{s} (H) \to {- 1,1}$ 使得：

$Φ (A) = f (A) U A U^{*}$

对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 都成立，或者

$Φ (A) = f (A) U J A J U^{*}$

对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 都成立。

首先证明 $Φ$ 是线性的。对 $A_{1}, A_{2}, B \in B_{s} (H)$ 和

秩一自伴的 $T$ , $W_{c} (Φ (B) Φ (T)) = W_{c} (B T)$ 和引理2及引理6表明：

$t r (Φ (A_{1} + A_{1}) Φ (T)) = t r (A_{1} T + A_{1} T)$

$= t r (A_{1} T) + t r (A_{2} T)$

$= t r (Φ (A_{1}) Φ (T)) + t r (Φ (A_{2}) Φ (T))$

由于 $Φ$ 是满射且保持秩一，因此 $Φ (T)$ 可以取遍所有自伴秩一 $x \otimes x$ ( $x \in H$ )，从而 $Φ$ 是可加的。同理可以证明 $Φ$ 是齐次的，即对任意 $α \in C$ ，都有：

$Φ (α B) = α Φ (B)$

所以 $f$ 必须是是常值泛函，即 $f (A) \equiv ε$ 对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 成立，其中 $ε = \pm 1$ 。

若 $Φ (A) = ε U J A J U^{*}$ 对所有的 $A \in B_{s} (H)$ 都成立，那么对任意 $B \in B_{s} (H)$ 和秩一自伴 $x \otimes x$ 都有：

$W_{c} (J B x \otimes x J) = W_{c} (B x \otimes x)$

由引理2，可得 $<J B x, J x> = <x, B x> = <B x, x>$ 对所有的 $x \in H$ 都成立，不可能。定理2得证。

参考文献

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自伴算子代数上保持乘积的c<math id="M1"><mi mathvariant="normal">c</mi></math>⁃数值半径映射的刻画 PDF

摘要

关键词

1 引言

2 保持算子乘积的c<math id="M98"><mi mathvariant="normal">c</mi></math>-数值半径的映射

3 保持乘积的c<math id="M420"><mi mathvariant="normal">c</mi></math>-数值域的映射

参考文献

自伴算子代数上保持乘积的 $c$ ⁃数值半径映射的刻画 PDF

2 保持算子乘积的 $c$ -数值半径的映射

3 保持乘积的 $c$ -数值域的映射