摘要
为导出饱和黄土中不排水柱孔扩张问题严格解,采用结构性黄土修正剑桥模型描述黄土力学特性。在弹性区采用小变形假设求解孔周土体应力与变形,同时将塑性区柱孔扩张边值问题转化为3个以应力分量为基本未知量的一阶非线性常微分方程求解问题。以弹塑性界面上应力分量作为初始条件求解控制方程,得到孔周塑性区应力分布,然后对径向平衡方程积分求得孔隙水压力。通过算例分析验证了该方法的正确性。结果表明:退化解与已有数值解完全吻合,并且黄土结构性对孔周应力、超静孔压以及弹塑性半径等影响显著。
关键词
西部大开发战略的实施使黄土分布最广的西北地区岩土工程问题研究变得十分紧
在岩土体中的圆孔扩张或收缩实质上是一个一维边值问题,其求解往往需要一个合理描述岩土材料应力‒应变关系的本构模型。理想弹塑性本构模型(Mohr‒Coulomb理论、Tresca准则和统一强度理论等)和临界状态应变硬化或软化本构模型(剑桥模型、修正剑桥模型以及众多用于特殊土体的改进修正剑桥模型)是目前广泛应用于反映土体力学特征的2类本构模型。圆孔扩张理论应用初期,许多学者采用摩尔‒库伦准则求解柱孔和球孔扩张问题。Vesi
理想弹塑性模型无法考虑土体应力历史与超固结比的影响,因此临界状态模型逐渐受到广大学者的青睐而广泛应用于柱孔扩张问题的研究。由于临界状态模型自身的复杂性,因此在使用该类模型时或多或少会进行适当简化,其中包括假定塑性区内剪切模量恒定与偏应力线性分
对于天然的岩土材料,特别是广泛分布于我国西北地区的黄土,其结构性对土体强度和变形特性的影响是土力学最本质的一个因素。然而,以上研究大部分是针对于求解饱和黏土、软土和砂土等的柱孔扩张问题,现有解析解中对考虑土体结构性的扩孔机理分析仍存在不足,尤其是黄土地区的圆孔扩张问题解答较少。因此,基于Chen

图1 结构性黄土中的柱孔扩张力学模型
Fig.1 Mechanical model of cylindrical cavity expansion in structured loess
柱孔扩张问题的求解前提是基于以下假设:
(1)土体为均质、连续且各向不等压的饱和黄土。
(2)孔隙水不可压缩,应力和应变以压为正。
(3)平面应变和不排水条件下柱孔扩张,因此扩孔过程中土体体积不变。
(4)在弹性区土体服从线弹性和小变形假定,在塑性区采用大变形理论和结构性黄土修正剑桥模型描述土体的力学特性。
孔周任意土体微单元总应力满足以下平衡微分方程:
(1) |
式中:σr和σθ分别为孔周土体总径向应力和切向应力。
(2) |
式中:和分别为孔周土体有效径向应力和切向应力;u为孔隙水压力。
在孔周弹性区采用胡克定律描述土体应力状态与变形特征,应力‒应变关系的增量形式如下所示:
(3) |
式中:E为弹性模量,E=2G(1+ν),其中ν为泊松比,G为剪切模量;为应变分量;为应力分量;为主应力分量;为克罗内克函数。G的计算式如下所示:
(4) |
式中:υ为土体比容;p'为有效平均应力;κ为回弹曲线斜率。
在孔周塑性区采用邓国华
(5) |
式中:为平均有效屈服应力;C为综合结构性参数,反映应力比结构性参数mη对屈服面平移量和形状尺寸的改变。综合结构性参数C、临界状态应力比M、有效平均应力以及偏应力q的计算式如下所示:
(6) |
(7) |
(8) |
(9) |
式中:为孔周土体有效竖向应力;θσ为应力罗德角;c(mη)、φ(mη)分别为黄土中随应力比结构性参数变化的黏聚力和内摩擦角。c(mη)和φ(mη)的计算式分别为
, | (10) |
式中:a、b、A为试验拟合参数;为土体内摩擦角。mη的表达式如下所
(11) |
式中:下标i、r、s分别表示原状土、重塑土和饱和土;ηi、ηr、ηs分别为原状土、重塑土和饱和土在一般应力路径下的应力比;pi、pr、ps分别为原状土、重塑土和饱和土在一定体应变条件下的等向压应力或球应力;qi、qr、qs分别为原状土、重塑土和饱和土在某一剪切变形条件下的剪应力。
考虑应变硬化规律后,
(12) |
式中:λ为土体压缩曲线斜率;为初始有效平均应力;e0为土体初始孔隙比;εv,p为塑性体应变。当综合结构性参数C = 0时,
由Chen
(13) |
(14) |
(15) |
(16) |
(17) |
式中:为弹塑性界面上的有效径向应力;G0为初始剪切模量。G0的计算式如下所示:
(18) |
式中:υ0为土体初始比容。
对于初始应力各向异性的结构性黄土,孔周初始有效径向应力、切向应力和竖向应力之间的关系如下所示:
(19) |
式中:σh0、σv0分别为总初始水平、竖向应力;u0为初始孔隙水压力。
(20) |
由弹性区应力解析式可知,扩孔过程中孔周土体的有效平均应力p'保持不变,则根据应力连续条件弹塑性界面处有效平均应力可表示为
(21) |
将(, q0)代入
(22) |
式中:q0为初始有效偏应力。
将弹塑性界面上点(, qp)代入
(23) |
式中:为弹塑性界面上的偏应力;R为结构性黄土超固结比。R的计算式如下所示:
(24) |
弹塑性界面上的有效径向应力σ、切向应力 σ、竖向应力σ和偏应力qp分别表示为如下关系式:
(25) |
(26) |
(27) |
结合式(
(28) |
(29) |
(30) |
设刚进入塑性状态的微单元位置为rxp,其初始位置为rx0,由
(31) |
对于不排水柱孔扩张,土体单元体积不变,因此孔周任意一点的当前径向坐标rx和初始径向坐标rx0与圆孔当前半径a和初始半径a0之间的关系可表示为
(32) |
结合
(33) |
令rx = rxp = rp,则由
(34) |
孔周土体塑性屈服后总应变增量由弹性体应变增量和塑性体应变增量两部分组成,如下所示:
(35) |
式中:为应变。土体屈服后弹性体应变增量任然采用胡克定律计算,由结构性黄土剑桥模型和相关联流动法则,可通过下式计算塑性体应变增量:
(36) |
式中:Λ为塑性因子,表示塑性应变增量大小的一个标量;f为屈服函数。
塑性体应变增量d与主应力方向上的塑性应变增量dεr,p、dεθ,p和dεz,p满足
(37) |
联立
(38) |
(39) |
(40) |
(41) |
(42) |
(43) |
(44) |
有效平均应力增量dp'与偏应力增量dq可表示为
(45) |
(46) |
联立式(
(47) |
(48) |
(49) |
(50) |
(51) |
结合孔周弹性区应力‒应变关系
(52) |
式中:εr、εθ、εz分别为径向、切向和竖向应变。
(53) |
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(59) |
(60) |
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(62) |
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基于大变形理论,孔周塑性区r处的径向应变增量dεr和切向应变增量dεθ的拉格朗日描述形式为
(64) |
(65) |
柱孔扩张属于典型的平面应变问题,因此竖向应变增量亦为零,即
(66) |
根据不排水条件可知,柱孔扩张过程中土体体应变增量为零,即
(67) |
联立式(
(68) |
将
(69) |
(70) |
(71) |
注意到b11、b12、b21、b22、b31和b32均为关于3个应力分量、和的显式函数,因此能够通过3个应力分量在弹塑性界面上的初始值对式(
孔周塑性区内任意位置处超静孔隙水压力Δurx可通过对
(72) |
式中:为当前计算点处的有效径向应力。
上述解析式和求解程序为结构性黄土不排水柱孔扩张问题提供了严格的理论框架,然而对于控制方程式(
将

图2 归一化的扩孔压力与超静孔压随扩孔半径的变化
Fig.2 Variation of normalized internal cavity pressure and excess pore pressure with cavity radius

图3 不同超固结比结构性黄土的有效径向、切向与竖向应力分布(a/a0=2)
Fig.3 Effective radial, tangential and vertical stress distributions for different over-consolidated structured loesses (a/a0=2)

图4 不同超固结比结构性黄土的有效平均应力、偏应力与超静孔压分布(a/a0=2)
Fig.4 Effective mean stress, deviator stress and excess pore pressure distributions for different over-consolidated structured loesses (a/a0=2)
如
由

图5 孔壁处不同超固结比结构性黄土在p‒q平面上的应力路径(a/a0=2)
Fig.5 Stress path in p‒q plane around cavity wall for different over-consolidated structured loesses (a/a0=2)
由
(1)考虑了土体结构性,推导出的半解析解能够更加真实地反映扩孔过程中土体应力状态。与采用修正剑桥模型的计算结果相比,本方法中结构性黄土的初始屈服面向左平移并且椭圆尺寸发生改变,平移量与尺寸改变量取决于结构性参数的取值。当忽略结构性影响时,本方法计算结果与Chen
(2)孔周土体分为3种状态:外侧土体处于弹性状态,并且距孔壁越远土体应力状态越接近扩孔前的初始状态;中间土体处于塑性状态,有效应力分量与超静孔压急剧变化;内侧土体处于临界状态,土体有效应力保持不变,但超静孔压仍变化较大。
(3)土体结构性与超固结比对孔周应力与变形影响显著,弹塑性半径与临界区半径均随着超固结比和综合结构性参数增大而减小。对于轻度与中度超固结土,当产生塑性体应变后土体出现应变硬化现象。当超固结比较大时出现负超静孔压,表明出现塑性软化现象,但考虑结构性能够减小土体软化程度。
作者贡献声明
李镜培:给出论文研究方法,稿件的审核和监督。
周 攀:给出论文研究方法,软件实施,研究结果验证,稿件初稿写作和返修。
李 亮:稿件审阅和修改。
谢 峰:稿件审阅和修改。
崔纪飞:稿件审阅和修改。
参考文献
李宁, 程国栋, 谢定义. 西部大开发中的岩土力学问题[J]. 岩土工程学报, 2001, 23(3): 268. [百度学术]
LI Ning, CHENG Guodong, XIE Dingyi. Geomechanics development in civil construction in Western China[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2001, 23(3): 268. [百度学术]
张伟, 杜太生, 张彬,等. 钢渣桩在湿陷性黄土地基中的应用探讨[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2003, 35(6): 698. [百度学术]
ZHANG Wei, DU Taisheng, ZHANG Bin, et al. Discussion on application of steel slag pile in collapsible loess foundation[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2003, 35(6): 698. [百度学术]
李林, 李镜培, 龚卫兵, 等. K0固结天然饱和黏土中柱孔扩张弹塑性解[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2017, 49(6): 90. [百度学术]
LI Lin, LI Jingpei, GONG Weibing, et al. Elasto-plastic solution to expansion of a cylindrical cavity in K0-consolidated natural saturated clay[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2017, 49(6): 90. [百度学术]
CHEN S L, ABOUSLEIMAN Y N. Drained and undrained analyses of cylindrical cavity contractions by bounding surface plasticity[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2016, 53(9): 1398. [百度学术]
LIU K, CHEN S L, GU X Q. Analytical and numerical analyses of tunnel excavation problem using an extended Drucker-Prager model[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2020, 53(1): 1777. [百度学术]
张亚国, 李镜培, 胡志平. 基于CPTU确定软黏土超固结比的理论改进方法[J]. 岩石力学与工程学报, 2017, 36(6): 1488. [百度学术]
ZHANG Yaguo, LI Jingpei, HU Zhiping. Modified theory approach to determination of OCR from piezocone penetration tests in soft clays[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2017, 36(6): 1488. [百度学术]
彭文祥, 张旭, 曹佳文. 充气锚杆极限承载力计算方法[J]. 岩土力学, 2013, 34(6): 1696. [百度学术]
PENG Wenxiang, ZHANG Xu, CAO Jiawen. Calculation method for ultimate bearing capacity of inflatable anchor[J]. Rock and Soil Mechanics, 2013, 34(6): 1696. [百度学术]
VESIC A S. Expansion of cavities in infinite soil mass[J]. Journal of Soil Mechanics and Foundation Engineering, 1972, 98(3): 265. [百度学术]
CARTER J P, BOOKER J R, YEUNG S K. Cavity expansion in cohesive frictional soils[J]. Géotechnique, 1986, 36(3): 345. [百度学术]
邹金锋, 罗强, 李亮, 等. 考虑体变与大变形时高应力砂性土扩孔问题能量分析方法比较[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(2): 426. [百度学术]
ZOU Jinfeng, LUO Qiang, LI Liang, et al. Comparison of energy dissipation analytical methods for cavity expansion considering large deformation and volumetric change in sand soil under high stresses[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(2): 426. [百度学术]
饶平平, 王道远. 基于广义Lade‒Duncan准则的圆柱孔扩张问题分析[J]. 地下空间与工程学报, 2012, 8(5): 946. [百度学术]
RAO Pingping, WANG Daoyuan. Analysis of cylindrical cavity expansion based on extended Lade-Duncan criterion[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2012, 8(5): 946. [百度学术]
曹黎娟, 赵均海, 魏雪英. 基于统一强度理论的灰土挤密桩应力分析[J]. 岩土力学, 2006, 27(10): 1786. [百度学术]
CAO Lijuan, ZHAO Junhai, WEI Xueying. Stress analysis of lime-soil compacted pile based on the unified strength theory[J]. Rock and Soil Mechanics, 2006, 27(10): 1786. [百度学术]
綦春明, 莫斌, 聂春龙, 等. 饱和土体柱形扩孔时大变形不排水统一解析解[J]. 岩石力学与工程学报, 2009, 28(4): 827. [百度学术]
QI Chunming, MO Bin, NIE Chunlong, et al. Unified analytical solutions for cylindrical cavity expansion in saturated soil under large deformation and undrained conditions[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009, 28(4): 827. [百度学术]
CAO L F, TEH C I, CHANG M F. Undrained cavity expansion in modified Cam clay I: theoretical analysis[J]. Géotechnique, 2001, 51(4): 323. [百度学术]
肖昭然, 张昭, 杜明芳. 饱和土体小孔扩张问题的弹塑性解析解[J]. 岩土力学, 2004, 25(9): 1373. [百度学术]
XIAO Zhaoran, ZHANG Zhao, DU Mingfang. An elastoplastic closed-form approach of cavity expansion in saturated soil based on modified Cam clay model[J]. Rock and Soil Mechianics, 2004, 25(9): 1373. [百度学术]
胡伟, 刘明振. 非饱和土中球形孔扩张的弹塑性分析[J]. 岩土工程学报, 2006, 28(10): 1292. [百度学术]
HU Wei, LIU Mingzhen. Elastic-plastic solution of expansion of sphere cavity in unsaturated soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2006, 28(10): 1292. [百度学术]
周茗如, 卢国文, 王腾, 等. 结构性黄土劈裂注浆力学机理分析[J]. 工程力学, 2019, 36(3): 169. [百度学术]
ZHOU Mingru, LU Guowen, WANG Teng, et al. Mechanism analysis of structured loess fracturing grouting[J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(3): 169. [百度学术]
宋勇军, 胡伟, 王德胜, 等. 基于修正剑桥模型的挤密桩挤土效应分析[J]. 岩土力学, 2011, 32(3): 811. [百度学术]
SONG Yongjun, HU Wei, WANG Desheng, et al. Analysis of squeezing effect of compaction piles based on modified Cam-clay model[J]. Rock and Soil Mechianics, 2011, 32(3): 811. [百度学术]
李镜培, 唐剑华, 李林, 等. 饱和黏土中柱孔三维弹塑性扩张机制研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2016, 35(2): 378. [百度学术]
LI Jingpei, TANG Jianhua, LI Lin, et al. Mechanism of three dimensional elastic-plastic expansion of cylindrical cavity in saturated clay[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2016, 35(2): 378. [百度学术]
李林, 李镜培, 孙德安, 等. 剪胀性砂土中球孔扩张弹塑性解[J]. 岩土工程学报, 2017, 39(8): 1453. [百度学术]
LI Lin, LI Jingpei, SUN Dean, et al. Elasto-plastic solution to expansion of a spherical cavity in dilatant sand[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2017, 39(8): 1453. [百度学术]
CHEN S L, ABOUSLEIMAN Y N. Exact undrained elasto-plastic solution for cylindrical cavity expansion in modified Cam clay soil[J]. Géotechnique, 2012, 62(5): 447. [百度学术]
CHEN S L, ABOUSLEIMAN Y N. Exact drained solution for cylindrical cavity expansion in modified Cam clay soil[J]. Géotechnique, 2013, 63(6): 510. [百度学术]
郑金辉, 齐昌广, 王新泉, 等.考虑砂土颗粒破碎的柱孔扩张问题弹塑性分析[J]. 岩土工程学报, 2019, 41(11): 2156. [百度学术]
ZHENG Jinhui, QI Changguang, WANG Xinquan, et al. Elasto-plastic analysis of cylindrical cavity expansion considering particle breakage of sand[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2019, 41(11): 2156. [百度学术]
邓国华, 邵生俊, 佘芳涛. 结构性黄土的修正剑桥模型[J]. 岩土工程学报, 2012, 34(5): 834. [百度学术]
DENG Guohua, SHAO Shengjun, SHE Fangtao. Modified Cam-clay model of structured loess[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2012, 34(5): 834. [百度学术]
邓国华. 真三轴条件下黄土的结构性参数及结构性本构关系研究[D]. 西安: 西安理工大学, 2009. [百度学术]
DENG Guohua. Research on structure parameter of loess and structure constitutive relations under true tri-axial condition[D]. Xi’an: Xi’an University of Technology, 2009. [百度学术]