考虑执行器时滞不确定的车辆编队网联巡航鲁棒模型预测控制

摘要

针对车辆编队中执行器时滞的不确定性，提出了一种基于鲁棒模型预测控制的新的车辆编队网联巡航控制方法。该方法能够实时处理编队安全约束，并兼顾车辆编队的弦稳定性与对执行器时滞的鲁棒性。首先，建立车辆编队的数学模型与网联巡航模型预测控制的控制架构，分析无约束条件下网联巡航模型预测控制的线性反馈特性。其次，基于$H_{\mathrm{\infty }}$控制分析网联巡航线性系统对执行器时滞不确定的鲁棒性，得到车辆编队$L_{\mathrm{2}}$弦稳定性的实现条件。然后，通过控制器参数匹配，根据满足编队稳定性、鲁棒性要求的线性反馈参数对模型预测控制器的优化权重进行调整。通过不同执行器时滞的车辆编队系统仿真，结果表明，本文提出的控制方法简化了工程应用中相应的控制器参数匹配工作，进一步提高了车辆编队网联巡航控制系统的功能稳定性与安全性。

关键词

车辆编队; 网联巡航控制; 编队稳定性; 鲁棒模型预测控制

随着汽车保有量与人口集中流动规模的增加，高速公路的运力对交通系统构成了限制，交通阻塞状况日益突出，交通事故风险大大提高。在有限的交通容量下，如何提高交通效率、降低交通事故风险成为当下亟待解决的问题。车辆编队被广泛认为是解决方法之一。紧密编队行驶的车辆可以极大地缩减行驶间距，大幅提高道路交通流量^［1-2］，同时利用编队整体降低空气阻力的影响，显著提高车辆燃油经济性^［3］。

车辆编队的稳定性是保证车辆编队安全运行的必要条件。除了车辆跟随前车行驶时需具备的稳定性外，车辆编队亦需具备弦稳定性，即前车产生的扰动能够沿着车辆编队逐渐衰减。文献中已有许多关于弦稳定性的定义^［4］，如Naus等^［5］研究了异构车辆编队在频域内的稳定性问题，通过建立车辆实际位置和理想位置之间的传递函数关系，推导了频域内车队保持弦稳定性的充要条件。Ploeg等^［6］提出了L_p弦稳定性的定义，该定义适用于线性系统与非线性系统，同时考虑了初始条件扰动和外部扰动，且与编队的通讯拓扑结构无关。

目前车辆编队的控制方法主要采用线性反馈控制^［5-8］。线性控制下车辆编队的局部稳定性和弦稳定性的分析较为方便，但线性控制无法考虑执行器饱和等约束条件。模型预测控制（model predictive control， MPC）能够在满足输入与状态约束的同时，考虑舒适性、燃油消耗等多种性能指标，但难以直接对编队的弦稳定性进行设计。Dunbar等^［9］通过MPC约束条件的设计，保证了车辆编队的弦稳定性，但弦稳定性约束同时也限制了编队系统的动态性能。另一种弦稳定性设计方法是将满足弦稳定性的线性控制律与无约束的线性MPC进行匹配，调整后的MPC在约束未激活时仍继承了线性控制器的灵敏度、鲁棒性等闭环频域特性，同时在瞬态过程中仍能够最优地处理系统约束^［10-11］。然而，在实际交通场景中，除了编队系统实际存在的约束以外，由于发动机时间常数、车辆质量等参数的不确定性与运行过程中路面不平度、阵风等干扰，车辆节点地执行器时滞并不能准确获取，如何应对执行器的不确定性，对维持编队系统稳定性、保证编队系统安全运行具有重要意义。

针对实际工程中不可避免的车辆执行器时滞不确定问题，本文提出了一种车辆编队网联巡航的鲁棒模型预测控制方法。首先建立了车辆编队的数学模型与网联巡航的MPC控制架构，分析了无约束条件下MPC的线性反馈特性。采用$H_{\mathrm{\infty }}$控制方法分析线性系统对执行器时滞不确定的鲁棒性，并基于$L_{\mathrm{2}}$弦稳定性的对编队的弦稳定性进行验证。基于满足弦稳定性与鲁棒性要求的线性反馈系统参数，通过控制器参数匹配对MPC的优化权重进行调整。最后对由具有不同执行器时滞车辆组成的编队进行仿真，验证了本文提出的控制方法的有效性。

1 车辆编队系统建模

本文主要考虑高速公路上的“一字型”车辆编队，如图1所示。编队包括一领航车辆，编号为0，其余车辆跟随前车行驶。采用固定时距的跟车策略，即车辆编队中第i辆车与第i-1辆车质心间的理想车间距为：

$$d_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s},i}\left(t\right)=s_i+h{v}_i(t)$$

（1）

式中： $s_i$为静止车距，$v_i$为车辆速度，假定车辆编队中车头时距h对所有车辆都是相同的。可以得到当前第i辆车与第i-1辆车质心间车间距与理想车间距间的误差为

$$\begin{array}{l}{e}_i\left(t\right)=d_i\left(t\right)-d_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s},i}\left(t\right)=\\ \left(x_{i-\mathrm{1}}\left(t\right)-x_i\left(t\right)-L_i\right)-(s_i+h{v}_i(t))\end{array}$$

（2）

式中： $L_i$为第i辆车与第i-1辆车质心间车身长度。在编队系统中，常用如下一阶模型近似描述编队中的车辆节点动力学^［12］：

$${\dot{a}}_i=-\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_i}{a}_i+\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_i}{u}_i+{\delta }_i$$

（3）

式中： $a_i$为第i辆车的加速度，$u_i$为第i辆车的控制输入，${\tau }_i$为代表动力传动系统的时间常数。由于发动机时间常数、车辆质量等参数的不确定性与运行过程中路面不平度、阵风等干扰，车辆节点的执行器时滞难以准确获取，${\delta }_i$代表车辆执行器的不确定性，其值未知但有界。令${\mathit{X}}_{\mathit{i}}=[v_i,a_i,e_i{]}^{\mathrm{T}}$为编队系统状态量，可得状态空间方程：

$${\dot{\mathit{X}}}_{\mathit{i}}={\mathit{A}}_{\mathit{i}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}+{\mathit{B}}_{\mathit{i}}{u}_i+{\mathit{B}}_{\mathit{v}}{v}_{i-\mathrm{1}}+{\mathit{B}}_{\mathit{w}}{\delta }_i$$

（4）

其中：

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_i}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}& -h& \mathrm{0}\end{array}\right),{\mathit{B}}_{\mathit{i}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{{\tau }_i}\\ \mathrm{0}\end{array}\right),{\mathit{B}}_{\mathit{v}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}\right),{\mathit{B}}_{\mathit{w}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{1}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)$$

图1  车辆编队系统

Fig 1  Vehicle platoon system

2 鲁棒模型预测控制

本文提出的基于鲁棒模型预测控制的编队网联巡航控制方案如图2所示。与传统的MPC 相同，鲁棒模型预测控制器基于传感器测得的状态信息与通过V2V获得的来自前车的前馈信号，根据系统状态空间方程预测系统未来动态，然后在线滚动求解优化问题，通过系统的输出值修正当前时刻的系统状态。不同之处在于，鲁棒模型预测控制基于满足编队系统稳定性、鲁棒性的线性控制律，通过控制器参数匹配，对MPC目标函数的优化权重进行调整。

图2  车辆编队控制方案

Fig 2  Control scheme of vehicle platoon system

2.1　目标函数设计

为了MPC实现编队系统的控制，对系统状态空间（4）进行离散化处理，采样时间为$t_s$。设计每个采样时刻t=k$t_s$的目标函数为

$$J\left(k\right)={\sum }_{i=\mathrm{1}}^n{{\mathit{X}}_{\mathit{i}}}^T\left(k+i|k\right){\mathit{Q}}_{\mathit{i}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}(k+i|k)+{\sum }_{j=\mathrm{1}}^m{R}_i{u_i}^{\mathrm{2}}(k+j-\mathrm{1}|k)$$

（5）

式中： n代表预测时域，m代表控制时域；${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}\ge$0、$R_i>$0分别为系统状态与控制输入的优化权重。考虑到车辆执行器与编队运行安全，对车辆的瞬时状态与控制输入进行限制：

$$e_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le e_i\le e_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$$

（6a）

$$u_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le u_i\le u_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$$

（6b）

假设车辆编队模型精确，通过在式（6）的约束范围内对目标函数式（5）进行求解，控制输入$u_i$可以由一隐性控制律$h({\mathit{X}}_{\mathit{i}},v_{i-\mathrm{1}})$表示。不考虑约束，当m、n趋近于无穷时，$h({\mathit{X}}_{\mathit{i}},v_{i-\mathrm{1}})$可以用式（7）估计^［13］：

$$u_i={\mathit{k}}_{\mathit{i}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}+k_{f,i}{v}_{i-\mathrm{1}}$$

（7）

式中： ${\mathit{k}}_{\mathit{i}}=[k_{\mathit{v},\mathit{i}},k_{a,i},k_{e,i}{]}^{\mathrm{T}}$为状态反馈增益；$k_{f,i}$为车速前馈增益，其数值可由式（8）计算：

$${\mathit{k}}_{\mathit{i}}=-{R_i}^{-\mathrm{1}}{{\mathit{B}}_{\mathit{i}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}$$

（8a）

$$k_{f,i}=-{R_i}^{-\mathrm{1}}{{\mathit{B}}_{\mathit{i}}}^{\mathrm{T}}[({\mathit{A}}_{\mathit{i}}-{R_i}^{-\mathrm{1}}{\mathit{B}}_{\mathit{i}}{{\mathit{B}}_{\mathit{i}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}{)}^{\mathrm{T}}{]}^{-\mathrm{1}}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}{\mathit{B}}_{\mathit{v}}$$

（8b）

$${\mathit{P}}_{\mathit{i}}{\mathit{A}}_{\mathit{i}}+{{\mathit{A}}_{\mathit{i}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}-{\mathit{P}}_{\mathit{i}}{\mathit{B}}_{\mathit{i}}{R_i}^{-\mathrm{1}}{{\mathit{B}}_{\mathit{i}}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{\mathit{i}}={\mathit{Q}}_{\mathit{i}}$$

（8c）

基于上述方法，可根据线性控制器参数对MPC的目标优化参数进行调整，调整后的MPC在约束未激活时仍继承了线性控制器的灵敏度、鲁棒性等闭环频域特性，同时在瞬态过程中仍能够最优地处理系统约束。在MPC优化权重的实际选取过程中，预先设置了权重${\mathit{Q}}_{\mathit{i}}$、$R_i$的取值范围，然后通过对其进行多次迭代，得到满足系统鲁棒控制性能的可行解范围，从而进一步选取使得系统控制性能最优的MPC优化权重。

2.2　${\mathit{H}}_{\mathrm{\infty }}$鲁棒控制器设计

由于车辆自身模型参数的不确定性与外部干扰，车辆节点的执行器时滞通常并不能准确获取，在控制器设计过程中对其的忽视可能导致系统性能的劣化，因此车辆编队的控制器应能应对执行器的不确定性并保证系统的性能不会恶化太多。本文基于$H_{\mathrm{\infty }}$方法对系统鲁棒性进行分析。将控制律式（7）代入系统状态空间方程式（4），暂不考虑来自前车的前馈输入$v_{i-\mathrm{1}}$，可以得到如下闭环系统：

$$\left\{\begin{array}{c}{\dot{\mathit{X}}}_{\mathit{i}}={\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{c}\mathit{l}}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}+{\mathit{B}}_{\mathit{w}}{\delta }_i\\ v_i=\mathit{C}{\mathit{X}}_{\mathit{i}}+\mathit{D}{\delta }_i\end{array}\right.$$

（9）

式中： ${\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{c}\mathit{l}}={\mathit{A}}_{\mathit{i}}+{\mathit{B}}_{\mathit{i}}{\mathit{k}}_{\mathit{i}}$；C=［0 1 0］；D=0。若存在一个对称矩阵P>0满足^［14］：

$$\left[\begin{array}{ccc}{{\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{c}\mathit{l}}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}+\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{c}\mathit{l}}& \mathit{P}{\mathit{B}}_{\mathit{w}}& {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\\ {{\mathit{B}}_{\mathit{w}}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}& -{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{2}}\mathit{I}& {\mathit{D}}^{\mathrm{T}}\\ \mathit{C}& \mathit{D}& -\mathit{I}\end{array}\right]<\mathrm{0}$$

或

$$\left[\begin{array}{cc}{{\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{c}\mathit{l}}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}+\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{i},\mathit{c}\mathit{l}}& \mathit{P}{\mathit{B}}_{\mathit{w}}+{\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\mathit{D}\\ {{\mathit{B}}_{\mathit{w}}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}+{\mathit{D}}^{\mathrm{T}}\mathit{C}& {\mathit{D}}^{\mathrm{T}}\mathit{D}-{\mathit{\gamma }}^{\mathrm{2}}\mathit{I}\end{array}\right]<\mathrm{0}$$

（10）

则A是稳定的且从干扰输入${\delta }_i$到输出$v_i$的$H_{\mathrm{\infty }}$范数${‖G‖}_{\mathrm{\infty }}=\underset{\omega }{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{{‖v_i‖}_{L_{\mathrm{2}}}}{{‖{\delta }_i‖}_{L_{\mathrm{2}}}}<\gamma$。这反映了在有界能量输入下，被控系统的输出信号与输入信号的能量之比小于$\gamma$，体现出从干扰${\delta }_i(t)$到输出$v_i(t)$的抗干扰能力。

2.3　队列弦稳定性分析

为保证车辆编队的弦稳定性，采用$L_{\mathrm{2}}$弦稳定性的定义^［5］。对于线性时不变编队系统，若由第i-1辆车的车速$v_{i-\mathrm{1}}$到第i辆车车速$v_i$的传递函数$G_i$满足：

$${‖G_i‖}_{\mathrm{\infty }}=\underset{\omega }{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{{‖v_i‖}_{L_{\mathrm{2}}}}{{‖v_{i-\mathrm{1}}‖}_{L_{\mathrm{2}}}}\le \mathrm{1},i=\mathrm{1,2},\dots$$

（11）

则车辆编队满足强弦稳定性。

$G_{i,\delta }$为车辆执行器不确定性${\delta }_i$到第i辆车车速$v_i$的传递函数。由式（4）和式（7）可得

$$v_i\left(s\right)=G_i{v}_{i-\mathrm{1}}\left(s\right)+G_{i,\delta }{\delta }_i(s)$$

（12）

由式（12）可以看出，$G_{i,\delta }$为$G_i$的补灵敏度^［15］。由式（10）得${‖G_{i,\delta }‖}_{\mathrm{\infty }}<\gamma$，当$\mathrm{0}<\gamma <\mathrm{1}$时，可以得到

$${‖G_i‖}_{\mathrm{\infty }}={‖I-G_{i,\delta }‖}_{\mathrm{\infty }}\le \mathrm{1}$$

（13）

显然，当$\mathrm{0}<\gamma <\mathrm{1}$时，系统满足强弦稳定性。

3 车辆编队网联巡航控制的仿真分析

本节采用Matlab软件进行异质编队的数值仿真，以验证本文提出的控制方法的有效性。通常乘用车的发动机时间常数介于0.2~0.3 s^［16］，为了充分验证本文提出的控制方法对执行器时滞不确定性的鲁棒性，本文执行器时滞取值范围为0~1 s^［17］。控制器设计过程中采用的参数如表1所示。仿真环境设置为： ①异质队列系统中共含5辆车，包括1辆领航车与4辆跟随车； ②初始时刻相邻车辆间的车间距误差及其导数均为0，车辆质心间距离为10 m； ③第1辆到第4辆车的执行器时滞分别为0.5 s、0.9 s、0.7 s、0.4 s。

表1  控制器设计参数

Tab.1  Parameters adopted in controller design

参数	名称	单位	数值
${\tau }_i$	车辆响应时间常数	s	0.1
$h$	车头时距	s	0.5
$s_i$	静止车距（质心间）	m	10
$e_{max}$/$e_{min}$	最大车距误差/最小车距误差	m	5/-2
$u_{max}$/$u_{min}$	最大控制输入/最小控制输入	m/s2	3.5/-5

假设车辆初始速度均为0，在t=5 s时领航车以3 $\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$加速至86 km/h后开始匀速行驶，在t=19 s时以-4$\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$减速至静止。在此领航车速度波动下，所得到的仿真结果如图3所示。由图3（a）可以看出，各车辆均能完成对领航车辆车速的跟踪，同时车速的波动并未沿着队列方向放大，说明在执行器时滞存在较大误差的情况下，编队仍保持了弦稳定性。图3（b）中各车辆的加速度曲线也表现出类似的特性。在图3（c）中，车辆跟随前车的车间据误差同样并未沿着队列方向放大，同时在MPC预设的约束范围内，保证了车辆编队的安全运行。仿真结果充分说明，在本文提出的鲁棒模型预测控制作用下，车辆编队能够有效应对执行器的不确定性，并保证编队系统的稳定性与安全性。

（a）  车辆速度

（b）  车辆加速度

（b）  车间距误差

图3  车辆编队仿真结果

Fig 3  Simulation results of vehicle platoon system

4 结论

在实际交通场景中，由于发动机时间常数、车辆质量等参数的不确定性与运行过程中路面不平度、阵风等干扰，单一道路车辆的执行器时滞难以准确获取，对车辆编队稳定性及运行安全构成威胁。针对这一问题，本文提出了一种基于鲁棒模型预测控制的新的车辆编队网联巡航控制方法，在应对节点车辆执行器的不确定性的同时确保编队的稳定性不会恶化过多，并在执行器时滞不确定性较大的情况下，通过系统仿真验证该控制方法的有效性。该方法简化了工程应用中相应的控制器参数匹配工作，进一步提高了车辆编队网联巡航控制系统的功能稳定性与安全性。本文的主要结论如下：

（1） 建立了车辆编队的数学模型与网联巡航的MPC控制架构，并在无约束、无限时域条件下得到了MPC的线性反馈特性。

（2） 采用$H_{\mathrm{\infty }}$控制方法分析了线性反馈系统对执行器时滞不确定的鲁棒性，并基于$L_{\mathrm{2}}$弦稳定性对编队弦稳定性验证，由满足弦稳定性、鲁棒性要求的线性反馈系统参数对MPC的优化权重进行调整。

（3） 对由具有不同执行器时滞车辆组成的编队进行仿真，结果表明编队系统仍保持了弦稳定性，同时各状态参数仍在预设约束范围内，说明本文提出的鲁棒模型预测控制方法能够保证编队系统的稳定性、鲁棒性。