基于博弈论赋权耦合灰色关联分析的调蓄池优化选址

摘要

在构建城市内涝风险评估指标体系的基础上，采用博弈论（GT）思想将层次分析法（AHP）所得主观权重与改进熵值法（IEVM）所得客观权重组合赋权，并将灰色关联分析（GRA）与逼近理想解排序（TOPSIS）相结合，建立量化评估框架，最终通过各节点的相对贴近度确定调蓄池的位置。结果表明：GRA-TOPSIS所得综合值的变异系数为0.628，均高于单独使用GRA或TOPSIS的变异系数，更有利于对各节点内涝风险进行辨识。此外，应用该方法对消除城市内涝风险、提高城市防涝标准有显著效果。

关键词

调蓄池选址; 博弈论（GT）; 灰色关联分析（GRA）; 逼近理想解排序（TOPSIS）; 雨水管理模型（SWMM）

随着全球气候变化和我国城市化进程不断加快，城区降雨量和暴雨以上的降雨场次均有明显增加^［1］，极端暴雨天气引起的城市内涝问题日益突出，已成为影响城市健康发展的重要因素，“暴雨一来，城市看海”的现象屡见不鲜^［2］。为保障人民群众的生命财产安全，提高城市内涝防治水平，亟需加强城市内涝治理及防洪能力。

雨水调蓄池作为一种降低城市内涝风险的设施，其运行稳定性高，工程影响性低，而且雨水资源可以得到有效利用^［3］，被国内外学者广泛关注。然而，调蓄池的设置位置对城市内涝治理效果的差异也十分明显^［4］。邓培德^［5］对雨水调蓄池的位置进行了效益分析，提出了雨水调蓄池最佳理论位置的计算方法。Duan等^［6］基于地形、土地利用、地质结构和可获得的调蓄容积，提出2种调节池潜在位置方案。Liaw等^［7］采用遗传算法优化雨水调蓄池位置，结果表明位于水系中上游的蓄水池能显著降低下游的洪峰流量。郭芝瑞等^［8］利用Infoworks ICM模型对降雨过程中的地表积水进行了分析，在积水严重的地区设置调蓄池取得了较好的处理效果。为解决简单层次分析法（AHP）中主观因素的影响，杨浩宇^［9］引入三角模糊数，用评价区间代替层次分析法中的单点评价值，在模糊度上略优于层次分析法，弱化了人的主观因素对评价的影响。

综上所述，虽然调蓄池的相关成果较以往有了新高度，但是在规划布局和应用选址方面还缺乏系统的方法，有待深入研究。充分考虑影响城市内涝的积水与超载两大因素，构建了节点内涝风险评估指标体系；运用博弈论（GT）思想将各指标层次分析法所得的主观权重与改进熵值法（IEVM）所得的客观权重进行组合赋权，得到组合权重；利用灰色关联分析-逼近理想解排序（GRA-TOPSIS）得到各节点指标与正负理想方案之间的相对贴近度，依据相对贴近度确定节点的内涝风险排序，在内涝风险大的节点设置调蓄池，降低城市内涝风险，提高城市防洪水平。

1 指标体系构建

影响调蓄池选址的因素较多，本研究基于城市内涝治理的目的以及科学性、系统性和合理性原则，兼顾数据来源的代表性、可靠性与有限性，选取了与内涝直接相关的因素：节点积水和节点超载。节点积水指标包括积水时间、积水面积和积水深度，节点超载指标包括超载时间和超载高度^［10］，具体如图1所示。

图1  调蓄池选址评估指标体系

Fig.1  Evaluation index system for location of storage tanks

积水时间、超载时间和超载高度可由雨水管理模型（SWMM）模拟结果直接读取。积水面积和积水深度分别由积水体积、汇水面积宽度、地面坡度计算得到，计算式如下所示^［11］：

$$S=\frac{\mathrm{2}W\sqrt[]{\frac{iV}{W}}}{i}$$

（1）

$$h=\sqrt[]{\frac{iV}{W}}$$

（2）

式中：S为积水面积，m²；W为汇水面积宽度，m；V为积水体积，m³；i为地面坡度，%；h为积水深度，cm。

2 调蓄池选址流程

2.1　指标预处理

依据现有城市内涝防治规划标准，积水深度超过15 cm时城市交通不便，故首先筛选出研究区内积水深度超过15 cm的节点，对这些节点进行评估选址。假设研究区内有m个积水深度超过15 cm的节点，每个节点有n个评估指标，建立决策矩阵A=（x_ij）_m×n（x_ij为i节点j指标的数据）。

为消除指标类型与量纲对评判的影响，需对x_ij规范化处理，采用极值处理法作为预处理方法^［11］，具体表达式为

$$y_{ij}=\left\{\begin{array}{c}\frac{x_{ij}-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{x}_{ij}}{\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{x}_{ij}-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{x}_{ij}},\mathrm{正向}\mathrm{指标}\\ \frac{\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{x}_{ij}-x_{ij}}{\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{x}_{ij}-\underset{j}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{x}_{ij}},\mathrm{负向}\mathrm{指标}\end{array}\right.$$

（3）

由式（3）可得规范化矩阵B=（y_ij）_m×n（y_ij为i节点j指标的规范化数据）。

2.2　博弈论赋权模型

指标权重的确定是多属性决策中至关重要的一步，合理的决策结果与准确的指标权重有很大关系。目前，主要的赋权方法有主观赋权法、客观赋权法和组合赋权法。主观赋权法是通过主观的专家知识和工作经验进行赋权（如层次分析法），客观赋权法是通过决策数据建立数学模型进而求解权重（如改进熵值法）。主观赋权和客观赋权各有优缺点，单独使用某类赋权法均会导致决策结果存在一定局限性^［12］。组合赋权法综合了主、客观赋权的优点，能够克服单一赋权法由于忽略某一方面的信息而造成的赋权不准确，故采用博弈论对评价指标进行组合赋权。

2.2.1　层次分析法赋权

层次分析法详细步骤见文献［13］，此处不再赘述。

2.2.2　改进熵值法赋权

改进熵值法是根据指标的变异信息熵来确定权重的一种客观赋权法，详细步骤见文献［14］，此处不再赘述。

2.2.3　博弈论组合赋权

利用博弈论综合主、客观赋权的优点，对指标进行组合赋权，步骤如下：

（1）用L种不同赋权法对指标分别赋权，构造出基础权重向量集。令u_k=（u_k1，u_k2，…，u_kn）（k=1，2，…，L），记这L个不同向量的任意线性组合为

$$\mathit{u}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}{\alpha }_k{\mathit{u}}_k^T,{\alpha }_k>\mathrm{0},{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}{\alpha }_k=\mathrm{1}$$

（4）

式中：u为权重集的一种可能的权重向量；α_k为线性组合系数。

（2）运用博弈论思想优化L个线性组合系数α_k，使得u与各个u_kn的离差最小，即：

$$\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{\left|{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^L}{\alpha }_j{\mathit{u}}_j^T-{\mathit{u}}_i\right|}_{\mathrm{2}},i=\mathrm{1,2},\dots ,L$$

（5）

式（5）的最优化一阶导数条件可转换为

$$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{u}}_{\mathrm{1}}{\mathit{u}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{2}}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{u}}_{\mathrm{2}}{\mathit{u}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\end{array}\begin{array}{cc}\cdots & {\mathit{u}}_{\mathrm{1}}{\mathit{u}}_L^{\mathrm{T}}\\ \cdots & {\mathit{u}}_{\mathrm{2}}{\mathit{u}}_L^{\mathrm{T}}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ {\mathit{u}}_L{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{u}}_L{\mathit{u}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\end{array}\begin{array}{cc}& ⋮\\ \cdots & {\mathit{u}}_L{\mathit{u}}_L^{\mathrm{T}}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\alpha }_{\mathrm{1}}\\ {\alpha }_{\mathrm{2}}\end{array}\\ ⋮\\ {\alpha }_L\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{2}}{\mathit{u}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathit{u}}_L{\mathit{u}}_L^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$$

（6）

（3）根据式（6）求得（α₁，α₂，…，α_L）后进行归一化处理，即：

$${\alpha }_k^{\mathrm{*}}=\frac{\left|{\alpha }_k\right|}{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left|{\alpha }_k\right|}$$

（7）

最后得到最满意的综合权重向量

$${\mathit{u}}^{\mathrm{*}}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}{\alpha }_k^{*}{\mathit{u}}_k^T$$

（8）

2.3　GRA-TOPSIS步骤

TOPSIS和GRA都是通过计算每个决策方案的指标序列与正负理想状态序列之间的接近度来对决策进行排序。GRA只考虑了评估方案与参考方案的形状相似性，TOPSIS仅考虑了位置上的相似性，未考虑评估指标的动态变化，单独使用GRA或TOPSIS都存在不足。GRA能较好地反映各方案的内部变化规律，弥补TOPSIS的不足。因此，为充分利用评价指标所含信息，将TOPSIS和GRA联合使用。具体步骤如下：

（1）求加权规范矩阵C。将矩阵B的每一列与其对应的博弈论权重$u_j^{*}$相乘，得到C=（z_ij）_m×n（z_ij为规范化数据y_ij与$u_j^{*}$之积，即$z_{ij}=y_{ij}{u}_j^{*}$）。

（2）确定正理想解集$z_{\mathrm{0}}^{+}$。筛选出矩阵C各指标的最优值组成正理想解集，并将其作为GRA模型中的参考数列，即：

$$z_{\mathrm{0}}^{+}=\underset{\mathrm{1}\le i\le m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{z}_{ij}=(z_{\mathrm{0}}^{+}(\mathrm{1}),z_{\mathrm{0}}^{+}(\mathrm{2}),\dots ,z_{\mathrm{0}}^{+}(n))$$

（9）

（3）求各评估节点与正理想解集的灰色关联系数$r_i(j)$，如下所示：

$$r_i(j)=\frac{\underset{n}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\underset{m}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left|z_{\mathrm{0}}^{+}(j)-z_i(j)\right|+\lambda \underset{n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|z_{\mathrm{0}}^{+}(j)-z_i(j)\right|}{\left|z_{\mathrm{0}}^{+}(j)-z_i(j)\right|+\lambda \underset{n}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|z_{\mathrm{0}}^{+}(j)-z_i(j)\right|}$$

（10）

式中：λ为分辨系数；$z_i(j)$为评估节点的z_ij值。。

计算时分辨系数λ常取定值0.5，无论参考数列和对比数列如何变化，相应的关联系数下限均为0.333 3，这显然是不合理的^［15］。λ作为最大值的系数，应充分体现系统各因素对关联度的影响，同时应具有抗干扰作用，即能够削弱观测序列中异常值对整个关联空间的误差影响^［16］。参照文献［16］确定分辨系数λ的方法，并结合实际，分辨系数λ取0.3。由式（10）得到灰色关联系数矩阵R=（$r_i(j)$）_m×n。

（4）确定矩阵R的正理想解集$r_{\mathrm{0}}^{+}$、负理想解集$r_{\mathrm{0}}^{-}$，如下所示：

$$\left\{\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{0}}^{+}=\underset{\mathrm{1}\ll i\ll m}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{r}_i(j)=(r_{\mathrm{0}}^{+}(\mathrm{1}),r_{\mathrm{0}}^{+}(\mathrm{2}),\dots ,r_{\mathrm{0}}^{+}(n))\\ r_{\mathrm{0}}^{-}=\underset{\mathrm{1}\ll i\ll m}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{r}_i(j)=(r_{\mathrm{0}}^{-}(\mathrm{1}),r_{\mathrm{0}}^{-}(\mathrm{2}),\dots ,r_{\mathrm{0}}^{-}(n))\end{array}\right.$$

（11）

（5）分别计算节点i到$r_{\mathrm{0}}^{+}$、$r_{\mathrm{0}}^{-}$的欧氏距离$D_i^{+}$、$D_i^{-}$，如下所示：

$$\left\{\begin{array}{c}{D}_i^{+}=\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}(r_i(j)-r_{\mathrm{0}}^{+}{(j))}^{\mathrm{2}}},i=\mathrm{1,2},\dots ,m\\ D_i^{-}=\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}(r_i(j)-r_{\mathrm{0}}^{-}{(j))}^{\mathrm{2}}},i=\mathrm{1,2},\dots ,m\end{array}\right.$$

（12）

（6）各评估节点的灰色相对贴近度τ计算式为

$${\tau }_i=\frac{D_i^{+}}{D_i^{+}+D_i^{-}},i=\mathrm{1,2},\dots ,m$$

（13）

τ决定各节点的内涝风险排序，τ越大内涝风险越大，越应该首先在该点设置调蓄池。

3 工程实例分析

3.1　模型建立

3.1.1　模型概化

选取山西省某市一区域作为研究区域，计划设计5座调蓄池，采用SWMM对该区域建模，如图2所示。模型共包括24个子汇水分区（图中以“H”表示）、24条管段（图中以“数字”表示）、24个节点（图中以“J”表示）和1个出水口（图中以“C1”表示）。

图2  研究区SWMM

Fig.2  SWMM of study area

3.1.2　模型参数设定

SWMM参数主要包括洼地蓄水量、入渗模型及曼宁系数等。根据模型用户手册中的取值范围并依据文献［17-18］的研究成果综合确定模型参数。研究范围属于城市区域，所以土壤入渗模型选用Horton模型。演算模型为动力波，演算时间步长取30 s。其余相关参数如表1所示。

表1  SWMM参数取值

Tab.1  Values of parameter for SWMM

类别	参数名称	取值
蓄水量参数	渗透性洼地蓄水	1
	不渗透性洼地蓄水	3
渗透参数	最大入渗速率/（mm·h-1）	40.6
	最小入渗速率/（mm·h-1）	1.4
	衰减系数/h-1	7
	排干时间/d	4
曼宁系数	透水地表曼宁系数	0.170
	不透水地表曼宁系数	0.013
	管道曼宁系数	0.016

3.1.3　设计暴雨雨型

暴雨强度计算式如下所示：

$$q=\frac{\mathrm{1}\mathrm{532.7}(\mathrm{1}+\mathrm{1.08}\mathrm{l}\mathrm{g}T)}{{(t+\mathrm{6.9})}^{\mathrm{0.87}}}$$

（14）

式中：q为降雨强度，L·（s·hm²）^-1；T为重现期，a；t为降雨历时，min。

管网设计重现期为0.5 a，本研究选取重现期为5 a和10 a的降雨进行模拟，采用芝加哥雨型对设计暴雨进行雨量分配，模拟降雨历时取2 h，雨峰系数取0.4。

3.2　调蓄池选址

下面以重现期为5 a一遇的暴雨为例进行调蓄池选址。

运用博弈论思想将层次分析法所得的主观权重与改进熵值法所得的客观权重综合，并对每个指标进行组合赋权，结果如图3所示。

图3  博弈论赋权的各指标权重

Fig.3  Weight of each index for game theory weighting

主观赋权和客观赋权各有优缺点，单独使用其一均会导致评价结果存在一定局限性^［14］。由图3可知，不同的计算原理及侧重点致使层次分析法与改进熵值法所得权重分配差异性显著，而博弈论恰好可协调该矛盾，如专家们给出积水面积指标的权重仅为0.123，而改进熵值法求得的权重高达0.288，最终博弈论优化得到的权重为0.169。

由GRA-TOPSIS模型求得重现期为5 a一遇时积水深度超过15 cm下各节点的欧氏距离与灰色相对贴近度，并与传统TOPSIS进行对比，依据贴近度从小到大的顺序排列，如图4所示。对图4中的贴近度进行线性拟合，拟合线性系数R²高达0.970 6，验证了GRA-TOPSIS模型所得评价值分布均匀合理。

图4  5a一遇时积水深度超过15 cm下节点的欧氏距离与灰色相对贴近度

Fig.4  Euclidean distance and gray relative closeness of the node when the depth of water is more than 15 cm in case of 5 a

为了增强对照性，不仅将GRA-TOPSIS与TOPSIS对比，还与GRA对比，结果如图5所示。需要指出的是，这3种方法所用的权重为图3中的博弈论权重，数据预处理方法均为极值标准化法。由图5可知，对于GRA-TOPSIS、GRA、TOPSIS，同一节点最终综合排序的位次相差均不超过2。同时，利用Spearman等级相关系数检验法来检验GRA-TOPSIS与其他2种方法的关联程度，相关系数分别为0.976和0.939（P<0.01），表明这3种评价法关联度极高，即所得评价结果一致性令人满意，也进一步说明了GRA-TOPSIS计算结果的合理性。

图5  5 a一遇时3种评价方法综合值对比

Fig.5  Comparison of comprehensive value between three evaluation methods in case of 5 a

此外，GRA-TOPSIS、GRA、TOPSIS所得节点内涝综合评价值的变异系数分别为0.628、0.276、0.418。变异系数越大说明综合评价值分辨水平、离散程度越高，对区分不同节点内涝风险等级具有更强的适宜性。显然，GRA-TOPSIS所得综合值的变异系数比GRA、TOPSIS均大很多，可知GRA-TOPSIS综合值的分布较其他2种方法分布更均匀合理，而且相邻排序间综合值差异更明显，更有利于直观地区分各节点内涝情况。因此，采用GRA-TOPSIS评价结果进行选址。

由图5可知，5 a一遇时调蓄池位置分别选在J21、J19、J20、J18、J15。

同理，10 a一遇时各节点内涝评价结果如图6所示，调蓄池位置分别选在J21、J19、J20、J17、J18。

图6  10 a一遇时3种评价方法综合值对比

Fig.6  Comparison of comprehensive value between three evaluation methods in case of 10 a

3.3　结果与分析

分散调蓄池的位置确定以后，对调蓄池的容积进行确定。节点分散调蓄池和末端调蓄池的容积分别根据该节点和所有节点积水深度超过15 cm部分的体积确定。调蓄池容积计算式如下所示：

$$V_{\mathrm{调}}=\frac{{(h-\mathrm{15})}^{\mathrm{2}}W}{i}$$

（15）

式中：V_调为调蓄池容积，m³。

由式（15）计算可得，5 a一遇时J21、J19、J20、J18和J15节点积水深度超过15 cm部分的体积分别为 9 363、6 727、2 037、62、16 m³，将以上各节点的调蓄池容积设置为9 400、6 800、2 100、100、100，共 18 500 m³，传统末端调蓄池的容积设置为22 000 m³。10 a一遇时J21、J19、J20、J17和J18节点积水深度超过15 cm部分的体积分别为20 512、16 071、 6 775、346、1 629 m³，将以上各节点的调蓄池容积设置为20 600、16 100、6 800、400、1 700 m³，共45 600 m³，传统末端调蓄池的容积设置为66 400 m³。分散调蓄与传统末端调蓄相比，5 a和10 a一遇调蓄池容积分别减少近15.91%和31.31%。2种调蓄方式的内涝治理效果对比如表2所示。

表2  5 a和10 a重现期下末端调蓄与分散调蓄内涝治理对比

Tab.2  Comparison of waterlogging management between terminal regulated storage and decentralized regulated storage during the return period of 5 a and 10 a

重现期	方案	调蓄规模/m3	积水深度超过15 cm的节点个数/个	占总节点 百分比/%	积水深度超过15 cm的节点削减率/%	最大积水 深度/cm	最大积水深度削减率/%
5 a	末端调蓄	22 000	10	42		18.50
	分散调蓄	18 500	6	25	40	16.30	11.89
10 a	末端调蓄	66 400	20	83		20.09
	分散调蓄	45 600	19	79	5	18.83	6.27

由表2可知，分散调蓄与传统末端调蓄相比，重现期为5 a一遇时，积水深度超过15 cm的节点数由10个减少为6个，削减率达40%，最大积水深度由18.50 cm降到16.30 cm，削减率为11.89%。重现期为10 a一遇时，积水深度超过15 cm的节点数由20个减少为19个，削减率为5%，最大积水深度由20.09 cm降到18.83 cm，削减率为6.27%。因此，在5 a和10 a一遇2种不同情况下，分散调蓄改善城市内涝效果均比较明显，排水系统排水能力均大大提升。

4 结论

（1）建立了普适的城市内涝风险评估指标体系，运用博弈论思想将主客观权重综合，既可整体分析影响城市内涝的主次因素，又能最大程度上规避不确定因素，减少了单独赋权带来的信息损失，提高了方法的适用性和准确性。

（2）提出将GRA-TOPSIS应用于调蓄池选址，克服了TOPSIS和GRA 2种方法本身的局限性，使节点内涝风险相对贴近度更加准确，从而更加合理地反映节点内涝风险。

（3）GRA-TOPSIS所得节点内涝综合评价值的变异系数最大，为0.628，验证了GRA-TOPSIS比单独使用GRA或TOPSIS更具优越性，有助于对节点内涝风险进行更精细准确地排序。

（4）通过实例验证了GRA-TOPSIS选址结果在多情景暴雨重现期下对城市内涝的改善效果。在较少内涝节点设置调蓄池，缓解城市内涝效果更明显，可解决当前城市用地紧张问题。

作者贡献声明

李红艳：论文撰写思路指导，文献资料汇总及论文修改、校对。

张 翀：处理数据，撰写论文。

崔建国：修改论文。

张 峰：修改论文。

马熠阳：修改图表及公式。

史文韬：修改图表及公式。