钢筋混凝土柱基于能量等效的损伤状态量化方法

摘要

钢筋混凝土柱在地震作用下具有不同的失效模式。不同失效模式钢筋混凝土柱的损伤状态量化方法目前存在定义方式不一且预测精度较差的问题。基于246根钢筋混凝土矩形截面柱的拟静力往复加载试验数据，提出了一种基于能量等效原则量化不同失效模式钢筋混凝土柱损伤状态的方法。通过引入贝叶斯神经网络模型，建立了适用于不同失效模式钢筋混凝土柱的位移角预测公式。研究结果表明：能量等效原则可将钢筋混凝土柱的骨架曲线等效为一个理想弹塑性模型，不仅便于定义屈服点、峰值点和极限点，而且便于在同一框架下对比不同失效模式钢筋混凝土柱的抗震力学性能差异。根据屈服点、峰值点和极限点的位移角，钢筋混凝土柱的损伤状态可以划分为：“基本完好”、“轻度破环”、“中等破坏”和“严重破坏”四个等级。贝叶斯神经网络模型可以准确预测不同失效模式钢筋混凝土柱屈服点、峰值点和极限点的位移角。传统的峰值承载力经验折减系数法在预测屈服点的位移角时偏于保守，在预测极限点的位移角时偏于不安全。

关键词

钢筋混凝土柱; 失效模式; 损伤状态; 能量等效; 贝叶斯神经网络

在基于性能的建筑结构抗震设计理论框架下，钢筋混凝土结构的性能化设计近年来受到国内外研究者的广泛关注^［1］。钢筋混凝土柱是钢筋混凝土结构最主要的抗侧力构件之一。地震作用下，钢筋混凝土柱存在弯曲失效、剪切失效和弯剪失效三种不同的失效模式。由于钢筋混凝土柱的变形能力对钢筋混凝土结构的抗震性能具有重要影响，因此研究这些不同失效模式下钢筋混凝土柱位于各个损伤状态的变形能力成为工程师关注的焦点^［2］。

迄今为止，国内外众多学者针对不同失效模式下钢筋混凝土柱的变形能力与损伤状态开展了大量的理论与试验研究，如：2000年，Kowalsky^［3］提出了弯曲失效型钢筋混凝土柱在地震作用下的两种极限损伤状态（“可使用性”和“损伤控制”），给出了这两种极限损伤状态的位移角计算公式。2001年，Panagiotakos和Fardis^［4］采用经验回归分析方法，提出了一般钢筋混凝土柱屈服点和极限点的位移角预测公式。2008年，蒋欢军和吕西林^［5］提出了弯曲失效型钢筋混凝土柱的五个损伤状态，并建立了各个损伤状态的变形阈值计算方法。2010年，蒋欢军等^［6］将弯曲失效型钢筋混凝土柱的性能水平重新划分为“运行”、“基本运行”、“可修复”、“安全”和“倒塌”五个等级，给出了弯曲失效型钢筋混凝土柱在各个性能界限处的变形阈值计算方法。2010年，我国《高层建筑混凝土结构技术规程》（JCJ 3-2010）^［7］（以下简称2010版高规）将构件的损伤状态按照宏观损坏破坏程度的不同划分为五个等级，但未给出各个损伤状态的划分依据和相应的变形阈值计算方法。2014年，ASCE/SEI 41-13^［8］总结了弯曲失效型、弯剪失效型和剪切失效型钢筋混凝土柱的力-变形骨架曲线，定义了五个关键特征点，提出了钢筋混凝土柱的三个基本性能点，分别为：基本完好、生命安全和接近倒塌。同时，区分了轴压比和配筋率对不同性能点变形阈值的影响，给出了不同失效模式下钢筋混凝土柱在这三个基本性能点的变形阈值统计值。2015年，蒋欢军和刘小娟^［2］研究了锈蚀钢筋混凝土柱的五个抗震性能水平，对应四个性能界限点。同时，考虑轴压比和锈蚀率的影响，给出了锈蚀钢筋混凝土柱在这四个性能界限点的位移角阈值。2018年，崔济东等^［9］以塑性位移角为指标，将钢筋混凝土柱的抗震性能状态划分为七个等级，采用线性回归方法，建立了不同失效模式的钢筋混凝土柱在其中“无损坏”、“较严重损坏”和“严重损坏”三个关键性能点的位移角预测公式。

综上所述，钢筋混凝土柱变形阈值与损伤状态的研究目前存在以下问题：

（1）损伤状态的划分数量存在较大差异，如2010版高规将损伤状态划分为五个等级，ASCE/SEI 41-13划分为三个等级；

（2）损伤状态的划分标准不一致，已有的研究大多针对弯曲失效型钢筋混凝土柱，对钢筋混凝土柱不同失效模式下处于不同损伤状态的变形阈值研究较少；

（3）已有的研究大多采用经验回归方法建立关键性能点的变形阈值预测公式，计算结果具有较大的离散性。考虑实际工程中，钢筋混凝土柱真实的失效模式目前仍难以精确判别，且不同的失效模式采用不同的损伤状态定义方法，难以对比钢筋混凝土柱在不同失效模式下的抗震性能差异。

因此，本文首先基于美国太平洋地震工程研究中心（PEER）建立的钢筋混凝土柱拟静力往复加载试验数据库，提取了其中246根钢筋混凝土矩形柱的骨架曲线。然后，基于能量等效原则，提出了一种统一划分不同失效模式钢筋混凝土柱损伤状态的方法。最后，引入贝叶斯神经网络模型，建立了能够预测不同失效模式钢筋混凝土柱处于各个损伤状态时的变形阈值计算公式。相关研究成果，可为不同失效模式钢筋混凝土柱的损伤状态量化和准确预测不同失效模式下钢筋混凝土柱处于各个损伤状态的变形阈值提供技术支撑。

1 拟静力往复加载试验数据库

图1为246根钢筋混凝土矩形柱设计参数的统计分布。其中，B为截面宽度，H为截面高度，L为等效长度，f_c为混凝土峰值抗压强度，f_y为纵筋屈服强度，f_v为箍筋屈服强度，ρ为纵筋配筋率，ρ_v为体积配箍率，P为轴压荷载。

图1  钢筋混凝土柱数据库基本设计参数统计分布

Fig.1  Statisic distribution for basic design parameters of reinforced cocnrete column database

可见，B的范围为80 mm ~ 914 mm；H的范围为80 mm ~ 914 mm；L的范围为80 mm ~ 2 335 mm；f_c的范围为16 MPa ~ 118 MPa；f_y的范围为0 MPa ~ 1 424 MPa；f_v的范围为0 MPa ~ 1 424 MPa；ρ的范围为0.68% ~ 6.03%；ρ_v的范围为0.007% ~ 2.95%；P的范围为0 kN ~ 8 000 kN。

根据PEER的研究报告，钢筋混凝土柱的失效模式一般定义为

（1）首先，根据原始文献是否出现剪切失效特征的相关描述，将钢筋混凝土柱的损伤划分弯曲失效型和剪切失效型两类。

（2）对于剪切失效型钢筋混凝土柱，分别计算截面边缘混凝土受压峰值应变为0.004时的水平承载力F_0.004和水平承载力下降至80%峰值承载力时的位移延性系数μ_f。如果水平承载力小于0.95F_0.004或位移延性系数μ_f小于或等于2，则认为该柱为剪切失效；否则，为弯剪失效。根据上述定义，246根柱中弯曲失效型柱有192根，弯剪失效型柱有36根，剪切失效型柱有18根。

2 基于能量等效的损伤状态定义

由于每根钢筋混凝土柱的设计参数取值差异较大，因此引入位移角θ这一量纲为一的参数消除设计参数取值差异带来的影响。以位移角θ为抗震性能指标，图2给出了适用于不同失效模式钢筋混凝土柱的损伤状态划分方法。可见，钢筋混凝土柱的损伤状态由三个基本性能点：屈服点P1、峰值点P2和极限点P3确定^［10］。据此，可将钢筋混凝土柱的损伤状态划分为四个等级，分别为：基本完好、轻度破坏、中等破坏、严重破坏。其中，V_y、V_p、V_u和θ_y、θ_p、θ_u分别为屈服点P1、峰值点P2和极限点P3对应的水平承载力和位移角。当位移角θ小于θ_y时，属于“基本完好”状态，代表钢筋混凝土柱基本处于弹性受力变形状态，构件表面没有或仅产生细微裂缝，纵筋和箍筋均未发生屈服^［6］。当位移角θ大于θ_y，但小于θ_p时，属于“轻度破坏”状态，代表钢筋混凝土柱表面出现较为明显的裂缝，部分钢筋出现了点状屈服，但混凝土保护层尚未发生脱落。当位移角θ大于θ_p，但小于θ_u时，属于“中等破坏”状态，代表钢筋混凝土柱的水平承载力开始发生退化，混凝土表面的裂缝可精确测量，钢筋的屈服长度显著增长，混凝土保护层发生了明显脱落。当位移角θ大于θ_u时，属于“严重破坏”状态，代表钢筋混凝土柱的水平承载力发生了严重退化，失去了承载能力。

图2  钢筋混凝土柱损伤状态定义

Fig.2  Definition for damage state of reinforced concrete columns

根据上述定义，可见：

（1）屈服点P1是“基本完好”状态和“轻度破坏”状态的临界点。

目前，对于弯曲失效，屈服点P1大多以底部纵筋是否发生屈服作为标志；对于剪切失效，屈服点P1使用的定义主要有两种^［11］。第一种为经验折减系数法，即对峰值承载力V_p进行折减进行定义。这种方法采用的峰值承载力经验折减系数一般取0.7。第二种方法为能量等效法，如图3所示。具体而言，令区域A1和区域B1的面积相等，由此确定一条割线，该割线与水平线的交点垂线与骨架曲线的交点定义为屈服点P1。

图3  基于能量等效原则定义屈服点与极限点

Fig.3  Definition of yield point and ultimate point based on energy equivalence principle

（2）峰值点P2为“轻微破坏”状态和“中等破坏”状态的临界点。目前，关于峰值点的定义十分统一，均为水平承载力的最大值。

（3）极限点P3为“中等破坏”状态和“严重破坏”状态的临界点。目前，对于弯曲失效，极限点P3大多以受压区边缘混凝土是否达到应变压极限为标志；对于剪切失效，极限点P3则采用经验折减系数法进行定义。然而，关于经验折减系数的取值尚不统一，如：Park^［11］将经验折减系数取为0.80，吕西林等^［12］将经验折减系数取为0.85。

因此，本文同样基于能量等效的原则进行定义，即当区域A2和区域B2面积相等时，卸载路径与骨架曲线的交点定义为极限点P3。显然，这种方法可将钢筋混凝土柱不同失效模式下的骨架曲线均等效成为一个理想弹塑性模型。

3 不同性能点的位移角统计

根据上述定义，计算数据库中所有钢筋混凝土柱在屈服点、峰值点和极限点的位移角。取正向和负向加载过程中位移角的平均值作为屈服点的位移角，图4给出了屈服点位移角的直方图与常用概率密度分布函数的对比。可见，屈服点的位移角分布范围为0.002至0.020，均值为0.007 7，标准差为0.003 8。其中，Gamma分布函数具有最高的拟合优度，均值为0.007 7，方差为1.46×10^-5。

图4  屈服点位移角的概率密度函数

Fig.4  Probability density fucntion of drift angle at yield point

同理，取正向和负向加载过程中位移角的平均值作为峰值点的位移角，图5给出了峰值点位移角的直方图与常用概率密度分布函数的对比。可见，峰值点的位移角分布范围为0.003至0.070，均值为0.020，标准差为0.012 6。其中，Gamma分布函数具有最高的拟合优度，均值为0.02，方差为0.000 1。

图5  峰值点位移角的概率密度函数

Fig.5  Probability density function of drift angle at peak point

由于数据库中并非所有的柱均加载至了极限位移。因此，筛选试验数据库，获得具有正向加载过程极限点的柱168根，具有负向加载过程极限点的柱164根，具有正向和负向加载过程极限点的柱144根。对同时存在正向和负向加载过程的极限点位移角，取平均值作为极限点的位移角；对仅存在正向或负向加载过程的极限点位移角，取极限点的正向或负向位移角作为极限点的位移角。

图6给出了峰值点位移角的直方图与常用概率密度分布函数的对比。可见，极限点的位移角分布范围为0.019 0~0.089 6，均值为0.038 5，标准差为0.019 0。其中，Gamma分布函数具有最高的拟合优度，均值为0.038 5，方差为0.000 4。

图6  极限点位移角的概率密度函数

Fig.6  Probability density function of drift angle at ultimate point

4 峰值承载力经验折减系数计算

计算基于能量等效原则定义的屈服点和极限点对应的峰值承载力经验折减系数，图7给出了屈服点峰值承载力经验折减系数的直方图与常用概率密度分布函数的对比。可见，基于能量等效原则定义的屈服点峰值承载力经验折减系数分布范围为0.60~0.90，均值为0.72，标准差为0.05。因此，若采用0.70的峰值承载力经验折减系数定义钢筋混凝土柱屈服点的位移角将偏于保守。其中，正态分布函数和Gamma分布函数具有最高的拟合优度：正态分布函数的均值为0.718，方差为0.002 9；Gamma分布函数的均值为0.719，方差为0.002 6。

图7  屈服点峰值承载力经验折减系数的概率密度函数

Fig.7  Probability density function for empirical reduction coefficient of peak strength at yield point

同理，图8给出了极限点峰值承载力经验折减系数的直方图与常用概率密度分布函数的对比。可见，基于能量等效原则定义的极限点峰值承载力经验折减系数分布范围为0.60至0.90，均值为0.775 6，标准差为0.058 3。因此，若取0.80或0.85的峰值承载力经验折减系数定义极限点的位移角将偏于不安全。其中，正态分布函数具有最高的拟合优度，均值为0.773 9，方差为0.003 8。显然，相比屈服点的峰值承载力经验折减系数，极限点的峰值承载力经验折减系数具有更大的离散性。

图8  极限点峰值承载力经验折减系数的概率密度函数

Fig.8  Probability density function for empirical reduction coefficient of peak strength at ultimate point

5 基于贝叶斯神经网络的位移角预测

钢筋混凝土柱力学性能的预测目前主要有经验回归方法、力学机理分析和机器学习方法三类。由于经验回归方法和力学机理分析建立的方程在预测时存在较大的离散性，因此采用机器学习方法预测钢筋混凝土柱的力学性能^［13］。贝叶斯神经网络最早由MacKay^［14-15］和Neal^［16］提出，是一种基于贝叶斯理论和神经网络模型的经典机器学习算法。

5.1　贝叶斯神经网络理论

图9给出了贝叶斯神经网络模型的结构形式。其中，A为隐藏层的输入变量，B为隐藏层的输出变量，ω_n为隐藏层第n个神经元的权重。

图9  贝叶斯神经网络结构

Fig.9  Bayesian neural network structure

可见，与传统的神经网络模型一致，贝叶斯神经网络模型同样由输入层、隐藏层和输出层组成。不同之处在于，网络结构中的隐藏层神经元权重服从某种概率密度分布，是一个随机变量而非一个确定性的值。

因此，通过最大化权重值的概率密度分布，同时结合贝叶斯理论对权重值的概率密度分布进行更新，即可较好地处理模型中包含的不确定性。

根据模型试算，将钢筋混凝土柱的九个主要设计参数（B、H、L、fc、fy、fv、ρ、ρ_v、P）作为输入层的神经元，将屈服点、峰值点和极限点的位移角（θ_y、θ_p、θ_u）分别作为输出层的神经元。考虑泛化能力是神经网络模型性能的一个重要评价指标^［17］，而隐藏层的结构对于模型的泛化能力具有显著影响。因此，通过模型试算，将贝叶斯神经网络模型的隐藏层设为11个神经元，即：建立的贝叶斯神经网络模型是一个9：11：1的架构，共有122个参数需要优化。

5.2　位移角预测公式

选取试验数据库中的246根钢筋混凝土柱训练和预测屈服点和极限点位移角的贝叶斯神经网络模型。同时，选取数据库中的186根钢筋混凝土柱训练和预测极限点位移角的贝叶斯神经网络模型。采用随机抽样的方式，将上述数据库按8：2的比例划分为训练集和测试集。图10给出了屈服点、峰值点和极限点的位移角在训练集和测试集上的预测值和实测值对比。可见，贝叶斯神经网络模型可以准确预测不同失效模式钢筋混凝土柱屈服点、峰值点和极限点的位移角。在训练集上，极限点的位移角具有最高的预测精度（R²=0.948），其次为峰值点（R²=0.891）和屈服点（R²=0.886）；在测试集上，屈服点的位移角具有最高的预测精度（R²=0.827），其次为极限点（R²=0.804）和峰值点（R²=0.720）。

图10  钢筋混凝土柱位移角预测值和实测值的对比

Fig.10  Comparison of predictive value and experimental data for drift angle of reinforced concrete columns

6 结论

（1）基于能量等效原则，可将不同失效模式钢筋混凝土柱的骨架曲线等效为一个理想弹塑性模型，因此便于定义三个基本性能点，即屈服点、峰值点和极限点，且研究不同失效模式钢筋混凝土柱的抗震力学性能差异。根据上述三个基本性能点，可将不同失效模式钢筋混凝土柱的损伤状态统一划分为四个等级：“基本完好”、“轻度破环”、“中等破坏”和“严重破坏”。

（2）钢筋混凝土柱正向和负向加载过程中屈服点、峰值点和极限点的位移角存在一定的偏差。统计分析结果表明，钢筋混凝土柱屈服点、峰值点和极限点的位移角均值分别为0.007 7、0.020和0.038 5，标准差分别为0.003 8、0.012 6和0.019。

（3）采用传统的峰值承载力经验折减系数法定义钢筋混凝土柱的屈服点和极限点具有一定的合理性，但不能反映不同失效模式钢筋混凝土柱的变形与耗能差异。采用0.70的经验折减系数估计屈服点的位移角将偏于保守；采用0.80或0.85的经验折减系数估计极限点的位移角将偏于不安全。基于能量等效原则，建议分别取0.72和0.78的峰值承载力经验折减系数确定不同失效模式钢筋混凝土柱的屈服点和极限点。

（4）贝叶斯神经网络模型无需区分钢筋混凝土柱的失效模式，可直接基于九个关键设计参数准确预测屈服点、峰值点和极限点的位移角，从而精确量化不同失效模式钢筋混凝土柱的损伤状态。在训练集上，极限点的位移角预测效果最好，可达0.948；在预测集上，屈服点的位移角预测效果最好，可达0.827。

作者贡献声明

宁超列：研究概念生成，研究方法设计，论文审阅与修订，研究资金获取；

王 硕：论文初稿撰写，数据整理与分析，软件开发与程序设计；

翟永梅：试验结果可视化，论文审阅与修订，研究课题监管与指导。