交叉积C*-代数Cuntz半群的性质

杨君，方小春，范庆斋; YANG Jun; FANG Xiaochun; FAN Qingzhai

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交叉积C*-代数Cuntz半群的性质 PDF

- ORCID：
杨君 ^1,2
- ORCID：
方小春 ¹
- ORCID：
范庆斋 ²

1. 同济大学数学系，上海 200092； 2. 上海海事大学数学系，上海 201306

中图分类号： O177

最近更新：2021-05-12

DOI：10.11908/j.issn.0253-374x.21018

摘要

设 $A$ 是一个无限维的有单位元并且具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质的（或者是 $U C F P_{n} (W (A)) = m$ ）的 $C * ‒$ 代数。 $α : G \to A u t (A)$ 是有限群 $G$ 作用在 $C * ‒$ 代数 $A$ 上，并且作用具有迹Rokhlin性质。则交叉积 $C * ‒$ 代数 $C * (G, A, α)$ 具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质（或者是 $U C F P_{n} (W (C^{*} (G, A, α))) = m$ ）。

关键词

$C * ‒$ 代数; 迹逼近 $C * ‒$ 代数; Cuntz半群

Connes^［

1］对于拓扑群作用在von Neumann代数上引入了Rokhlin性质。之后，Herman等^{［参考文献 2

百度学术}2］对于拓扑群作用在UHF‒代数引入了Rokhlin性质，Rordam^{［参考文献 3

百度学术}3］、 Kishimoto^{［参考文献 4

百度学术}4］对于拓扑群作用在一般的

C * ‒

代数引入了Rokhlin性质，Phillips^{［参考文献 5

百度学术}5］对于有限群作用在单的

C * ‒

代数上引入了迹Rokhlin性质。

本文研究有限群 $G$ 作用在有单位元单的 $C * ‒$ 代数上，并且群作用具有迹Rokhlin性质（Phillips提出的），得到的交叉积 $C * ‒$ 代数的Cuntz半群的性质的如下结论：

定理 1 $A$ 是一个无限维有单位元单的具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质的 $C * ‒$ 代数。 $α : G \to A u t (A)$ 是有限群 $G$ 作用在 $C * ‒$ 代数 $A$ 上，并且作用具有迹Rokhlin性质。则交叉积 $C * ‒$ 代数 $C * (G, A, α)$ 具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质。

定理 2 $A$ 是一个无限维有单位元单的满足 $U C F P_{n} (W (A)) = m$ 的 $C * ‒$ 代数。 $α : G \to A u t (A)$ 是有限群 $G$ 作用在 $C * ‒$ 代数 $A$ 上，并且作用具有迹Rokhlin性质。则交叉积 $C * ‒$ 代数 $C * (G, A, α)$ 满足 $U C F P_{n} (W (C^{*} (G, A, α))) = m$ 。

为了证明上述定理，利用Lin^［

6］提出的迹逼近

C * ‒

代数的概念。

设 $Ω$ 是一类 $C * ‒$ 代数，则由 $Ω$ 中的 $C * ‒$ 代数迹逼近之后得到的 $C * ‒$ 代数类记为 $T A Ω$ 。

一个有单位元单的 $C * ‒$ 代数 $A$ 属于 $T A Ω$ ，是指对于任意的 $ε > 0$ ，任意的有限子集 $F \subseteq A$ ，任意的 $a \geq 0$ ，存在一个投影 $p \in A$ 和 $A$ 的 $C * ‒$ 子代数 $B$ 满足 $1_{B} = p$ 并且 $B \in Ω$ ，使得

（1）对于任意的 $x \in F$ ， $‖x p - p x‖ < ε$ 。

（2）对于任意的 $x \in F$ ， $p x p \in_{ε} B$ 。

（3） $1 - p$ Murray-von Neumann等价于 $\bar{a A a}$ 中的投影。

准确地说，证明定理1和定理2 分为两步。

第一步，证明如下性质能够由 $Ω$ 类中 $C * ‒$ 代数遗传到由 $Ω$ 类中 $C * ‒$ 代数迹逼近之后得到的 $C * ‒$ 代数类中，也就是 $T A Ω$ 中。

（1） $k ‒$ 局部几乎可除性质。

（2） $U C F P_{n} (W (A)) = m$ 。

第二步，利用Fan等^［

7］得到的如下结果：

$Ω$ 是一类有单位元的 $C * ‒$ 代数， $Ω$ 类中 $C * ‒$ 代数对于可传的有单位元的 $C * ‒$ 子代数和张量上矩阵代数是封闭的。 $A \in T A Ω$ 是一个无限维有单位元单的 $C * ‒$ 代数。 $α : G \to A u t (A)$ 是有限群 $G$ 作用在 $C * ‒$ 代数 $A$ 上，并且作用具有迹Rokhlin性质。则交叉积 $C * ‒$ 代数 $C * (G, A, α)$ 也在 $T A Ω$ 中。

由上述两步，可以得到定理1和定理2。本文中证明第二步。

1 预备知识

设 $A$ 是有单位元的 $C * ‒$ 代数， $M_{n} (A)$ 表示 $A$ 中 $n \times n$ 矩阵全体。 $M_{\infty} (A)$ 表示 $(M_{n} (A), φ_{n})$ 的代数归纳极限。其中 $φ_{n} : M_{n} (A) \to M_{n + 1} (A)$ 是指 $a \mapsto d i a g (a, 0)$ 。

$M_{\infty} {(A)}_{+} (M_{n} {(A)}_{+})$ 表示 $M_{\infty} (A) (M_{n} (A))$ 中正元的全体。对于任意的 $M_{\infty} (A)$ 中正元 $a$ 和 $b$ 用 $a \oplus b$ 表示 $M_{\infty} (A)$ 中的正元 $d i a g (a, b)$ 。对于任意的 $a, b \in M_{\infty} {(A)}_{+}$ ，称 $a$ Cuntz子等价于 $b$ （记为 $< a > \leq $ ）如果存在 $M_{\infty} (A)$ 中一列元 $(v_{n})_{n = 1}^{\infty}$ 使得 $\underset{n \to \infty}{l i m} | | v_{n} b {v_{n}}^{*} - a | | = 0$ 。

称 $a$ 和 $b$ 是Cuntz等价的（记为 $< a > = $ ）如果 $< a > \leq $ 并且 $ \leq < a >$ ，其中 $< a >$ 为 $a$ 的等价类。

称 $W (A) (: = M_{\infty} {(A)}_{+}$ 商掉Cuntz等价类）为 $A$ 的Cuntz半群。容易知道 $W (A)$ 是一个正的部分序半群，定义加法运算为 $< a > + = < a \oplus b >$ ，序运算为 $< a > \leq $ 。

$A$ 是稳定有限的 $C * ‒$ 代数，一个正元 $a \in A$ 称为是纯正元，如果满足 $a$ 不Cuntz等价于一个投影。这等价于0是 $a$ 的谱点 $σ (a)$ 的聚点。

给定 $M_{\infty} {(A)}_{+}$ 中的正元 $a$ 和 $ε > 0$ ，记 ${(a - ε)}_{+}$ 是由函数 $f (t) = m a x (0, t - ε), t \in σ (a)$ 通过函数验算，对应于 $C * (a)$ 中正元，由函数验算知 $((a - ε_{1})_{+} - ε_{2})_{+} = (a - (ε_{1} + ε {}_{2}{))_{+}}$ 。

定理 3 ^［

8］

A

是一个有单位元稳定有限的

C * ‒

代数。

（1） $a, b \in A_{+}$ ，对于任意的 $ε > 0$ ，假设 $| | a - b | | < ε$ ，则存在 $A$ 中一个压缩的元 $d$ 使得 ${(a - ε)}_{+} = d b d^{*}$ 。

（2） $a, p$ 是 $M_{\infty} (A)$ 两个正元，其中 $p$ 是一个投影。如果 $ \leq < a >$ ，则存在 $M_{\infty} (A)$ 中的正元 $s$ 使得 $ + < s > = < a >$ 。

（3）下列等价① $< a > \leq $ ；②对于任意的 $ε > 0$ ， $< {(a - ε)}_{+} > \leq $ ；③对于任意的 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使得 $< {(a - ε)}_{+} >$ $\leq < (b - δ) + >$ 。

（4） $a$ 是一个纯正元，对于任意的 $δ > 0$ ，任意的一个非负函数 $f \in C_{0} (0,1]$ ，满足 $| | f | | = 1$ ，且在 $(δ / 2,1)$ 上 $f = 0$ ，在 $(0, \frac{δ}{2})$ 上 $f > 0$ ，则 $f (a) \neq 0$ ，且 $< {(a - δ)}_{+} > + < f (a) > \leq < a >$ 。

定义1^［

9］

A

是有单位元的

C * ‒

代数。

n \geq 1

是一个自然数，对任意给定的

x \in W (A)

，

U C F P_{n} (W (A))

表示最小的自然数

m > n

，满足对于任意的

W (A)

中给定的元

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{m}

，如果对于任意的

j = 1, \dots, m, x \leq n y_{j}

，则得到

x \leq y_{1} + \dots + y_{m}

。

定义2^［

10］

A

是有单位元的

C * ‒

代数。

k \geq 1

是自然数。称

<1_{A}> \in W (A)

具有

k

‒局部可除性质，是指存在

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k} \in W (A)

，对于任意的

j

，

m x_{j} \leq <1_{A}>

，且

<1_{A}> \leq \sum_{i = 1}^{k} n x_{i}

。称

A

具有

k ‒

局部几乎可除性质，是指对于所有的自然数

m \geq 2

，

<1_{A}> \in W (A)

具有

k ‒

局部

(m, m + 1)

可除性质。

定义3 ^［

5］设

A

是一个无限维单的有单位元可分的

C * ‒

代数，

α : G \to A u t (A)

是有限群

G

作用在

C * ‒

代数

A

上。称

α

具有迹Rokhlin性质，是指对于任意的有限子集

F \in A

，任意的

ε > 0

，任意的正元

b \in A

，对任意的

g \in G

，存在相互垂直的投影

e_{g} \in A

满足：

（1）对于任意的 $g, h \in G$ ， $| | a_{g} (e_{h}) - e_{g h} | | < ε$ 。

（2）对于任意的 $g \in G$ 和 $d \in F$ ， $| | e_{g} d - d e_{g} | | < ε$ 。

（3） $1 - e$ Murray-von Neumann等价于由 $b$ 在 $A$ 生成的可传 $C * ‒$ 子代数的一个投影。

（4） $| | e b e | | \geq | | b | | - ε$ 。

引理1^［

11］

Ω

是一类

C * ‒

代数，如果

Ω

中的

C * ‒

代数对于有单位元可传的

C * ‒

子代数和张量上矩阵代数是封闭的。由

Ω

中的

C * ‒

代数迹逼近之后得到的

C * ‒

代数类记为

T A Ω

，则

T A Ω

中的

C * ‒

代数对于有单位元可传的

C * ‒

子代数和张量上矩阵代数是封闭的。

引理2 $A$ 是一个无限维有单位元单的具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质的 $C * ‒$ 代数（或者 $U C F P_{n} (W (A)) = m$ ），则 $A$ 和矩阵代数的张量积， $A$ 的有单位元的可传 $C * ‒$ 代数和 $A$ 具有同样的性质。

证明：只证明 $A$ 的有单位的可传 $C * ‒$ 代数具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质，其他情况或者类似或者是平凡的。

设 $B = P A P$ 是 $A$ 的有单位元的可传 $C * ‒$ 代数，只要证明：对于任意的自然数 $m \geq 2$ ，存在 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k} \in W (B)$ 满足 $m x_{j} \leq $ ，且 $ \leq \sum_{i = 1}^{k} (m + 1) x_{i}$ ，由于 $A$ 具有 $k ‒$ 局部可除性质，因此存在 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{k} \in W (A)$ 满足 $m y_{j} \leq <1_{A}>$ 且 $<1_{A}> \leq \sum_{i = 1}^{k} (m + 1) y_{j}$ ，取 $x_{i} = p y_{i} p, i = 1,2, \dots, k$ ，则 $m x_{i} \leq $ ， $ \leq \sum_{i = 1}^{k} (m + 1) x_{i}$ 。

2 主要结果

定理4 $Ω$ 是稳定有限有单位元的 $C * ‒$ 代数类。对于任意的 $B \in Ω$ ， $U C F P_{n} (W (B)) = m$ 。则对于任意有单位元单 $C * ‒$ 代数 $A \in T A Ω$ ， $U C F P_{n} (W (A)) = m$ 。

证明：对于任意的 $ε > 0$ ，任意的 $1 \leq i \leq m$ ，如果 $< a > \leq n < b_{i} >$ ，只要证明 $< {(a - 2 ε)}_{+} > \leq < b_{1} > + < b_{2} > + \dots + < b_{m} >$ 即可。

证明这个定理分为三步。

第一步，假设 $a$ 和所有的 $b_{i} (1 \leq i \leq m)$ 都不是纯正元。

由于 $a,$ $b_{i} (1 \leq i \leq m)$ ，都不是纯正元，因此 $a$ Cuntz等价于某个投影 $q$ ， $b_{i}$ Cuntz等价于投影 $p_{i}$ $(1 \leq i \leq m)$ 。不妨设 $a = q$ ， $b_{i} = p_{i}$ ， $1 \leq i \leq m$ ，同时不妨设 $p_{i}$ 和 $p_{j}$ 相互垂直。

对于 $F = \{q, p_{1}, \dots, p_{m}\}$ ，任意的 $ε^{'} > 0$ ，由于 $A \in T A Ω$ ，存在 $A$ 的 $C * ‒$ 子代数 $B$ 和一个非零的投影 $p \in A$ ，满足 $B \in Ω$ 和 $1_{B} = p$ ，使得

（1）对于任意的 $x \in F$ ， $| | x p - p x | | < ε^{'}$ 。

（2）对于任意的 $x \in F$ ， $p x p \in_{ε^{'}} B$ 。

由（1）和（2），存在投影 $q^{'}, p_{1}^{'}, \dots, p_{m}^{'} \in B$ ，和 $q^{''}, p_{1}^{''}, \dots, p_{m}^{''} \in (1 - p) A (1 - p)$ ，满足

| | q^{} - q^{'} - q^{''} | | < 3 ε^{'}

| | p_{i}^{} - p_{i}^{'} - p_{i}^{''} | | < 3 ε^{'}

，

1 \leq i \leq m

对于任意的 $1 \leq i \leq m$ ，由于 $< q > \leq n < p_{i} >$ ，因此得到 $< q^{'} > \leq n < p_{i}^{'} >$ 和 $< q^{''} > \leq n < p_{i}^{''} >$ 。由于 $B \in Ω$ ，且 $U C F P_{n} (W (B)) = m$ ，因此得到 $< q^{'} > \leq < p_{1}^{'} > + \dots + < p_{m}^{'} >$ 。断言存在非零的投影 $r \in A$ ，使得 $< q^{'} > + < r > \leq < p_{1}^{'} > + \dots + < p_{m}^{'} >$ ，否则 $q^{'} ~ p_{1}^{'} + \dots + p_{m}^{'}$ ，并且 $< q^{'} > \leq n < p_{i}^{'} >$ ，对于任意的 $1 \leq i \leq m$ ， $< p_{1}^{'} > + \dots + < p_{m}^{'} > \leq n < p_{i}^{'} >$ ，因此 $m < p_{1}^{'} + \dots + p_{m}^{'} > \leq n < p_{1}^{'} + \dots + p_{m}^{'} >$ ，由于 $m > n$ ，这与 $A$ 是稳定有限的 $C * ‒$ 代数矛盾。

对于 $F = \{q^{''}, p_{1}^{''}, \dots, p_{m}^{''}\}$ ，任意的 $ε^{''} > 0$ ，由于 $(1 - p) A (1 - p) \in T A Ω$ ，存在一个 $(1 - p) A (1 - p)$ 的 $C * ‒$ 子代数 $D$ 和一个非零的投影 $s \in (1 - p) A (1 - p)$ ，满足 $D \in Ω$ 和 $1_{D} = s$ ，使得

① 对于任意的 $x \in F$ ， $| | x s - s x | | < ε^{''}$ 。

② 对于任意的 $x \in F$ ， $s x s \in_{ε^{''}} B$ 。

③ $< 1 - p - s > \leq < r >$ 。

由①和②，存在 $q^{'''}, p_{1}^{'''}, \dots, p_{m}^{'''} \in B$ 和 $q^{''''},$ $p_{1}^{''''}, \dots, p_{m}^{''''} \in (1 - p - s) A (1 - p - s)$ ，满足

| | q^{''} - q^{'''} - q^{''''} | | < 3 ε^{'}

| | p_{i}^{''} - p_{i}^{'''} - p_{i}^{''''} | | < 3 ε^{'}

，

1 \leq i \leq m

对于任意的 $1 \leq i \leq m$ ，由于 $< q^{''} > \leq n < p_{i}^{''} >$ ，因此 $< q^{'''} > \leq n < p_{i}^{'''} >$ 。由于 $U C F P_{n} (W (D)) = m$ ，所以得到 $< q^{'''} > \leq < p_{1}^{'''} > + \dots + < p_{m}^{'''} >$ 。

最后得到

\begin{array}{l} < q > = < q^{'} + q^{'''} + q^{''''} > \leq \\ < q^{'} > + < q^{'''} > + < 1 - p - s > \leq \\ < q^{'} > + < q^{'''} > + < r > \leq \\ < p_{1}^{'} > + \dots + < p_{m}^{'} > + < p_{1}^{'''} > + \dots + < p_{m}^{'''} > \leq \\ < p_{1}^{} > + \dots + < p_{m}^{} > \end{array}

第二步，对于某个 $1 \leq i \leq m$ ， $b_{i}$ 是纯正元。不妨假设 $b_{1}$ 是一个纯正元。同时不妨设 $b_{i} b_{j} = 0$ ， $1 \leq i, j \leq m$ 。由于 $< a > \leq n < b_{i} >$ ，由定理3知，对于任意的 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使得 $< a - ε >_{+} \leq n < b_{1} - δ >_{+}$ 。

不妨假设 $3 δ < ε$ ，则存在 $v_{k} = (v_{i, j}^{k}), 1 \leq k \leq m, 1 \leq i, j \leq n$ ，使得

v_{1} (d i a g ((b_{1} {- δ)}_{+}, \dots, (b_{1} {- δ)}_{+}) v_{0}^{*} = d i a g {(a - ε)}_{+}, 0, \dots, 0)

v_{1} (d i a g (b_{i}, \dots, b_{i})_{}) v_{i}^{*} = d i a g ({(a - ε)}_{+}, 0, \dots, 0)

，

2 \leq i \leq m

由定理3，存在一个非零正元 $d$ 使得 $< b_{1} - δ >_{+} + < d > \leq < b_{1} >$ 。

对于 $F = \{a, b_{1}, \dots b_{n}, d, v_{i, j}^{k}, 1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k \leq m\}$ ，任意的 $ε^{''} > 0$ ，由于 $A \in T A Ω$ ，存在 $A$ 的 $C * ‒$ 子代数 $B$ 和一个非零的投影 $p \in A$ ，满足 $B \in Ω$ 和 $1_{B} = p$ ，使得

（1）对于任意的 $x \in F$ ， $| | x p - p x | | < ε^{''}$ 。

（2）对于任意的 $x \in F$ ， $p x p \in_{ε^{''}} B$ 。

（3） $< 1 - p > < < d >$ 。

由（1）和（2）知，存在 $a^{'}, b_{1}^{'}, \dots, b_{n}^{'}, v_{i, j}^{k'} \in B$ ， $1 \leq i, j \leq n,$ $1 \leq k \leq m,$ 和 $a^{''}, b_{1}^{''}, \dots, b_{n}^{''}, v_{i, j}^{k''} \in (1 - p) A (1 - p)$ 使得

| | a - a^{'} - a^{''} | | < 3 ε^{''}

| | b_{i} - b_{i}^{'} - b_{i}^{''} | | < 3 ε^{''}

，

1 \leq i \leq m

| | v_{i, j}^{k} - v_{i, j}^{k'} - v_{i, j}^{k''} | | < 3 ε^{''}, 1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k \leq m

记 $v_{k}^{'} = (v_{i, j}^{k'}) \in M_{n} (B)$ ， $v_{k}^{''} = (v_{i, j}^{k''}) \in M_{n} ((1 - p) A (1 - p))$ ，则有

| | v_{1}^{'} (d i a g ((b_{1}^{'} {- δ)}_{+}, \dots, (b_{1}^{'} {- δ)}_{+})) v_{1}^{' *} - d i a g ((a^{'} {- ε)}_{+}, 0, \dots, 0) | | < 3 n^{2} ε^{''}

| | v_{i}^{'} (d i a g ((b_{i}^{'}, \dots, b_{i}^{'})) v_{i}^{'' *} - d i a g ((a^{''} {- ε)}_{+}, 0, \dots, 0) | | < 3 n^{2} ε^{''}, 2 \leq i \leq m

由定理3，得到

< (a^{'} - ε - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > \leq n < (b_{1}^{'} - δ) + >

< (a^{'} - ε - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > \leq n < b_{j}^{'} >, 2 \leq i \leq m

由于 $B \in Ω$ ，因此，

\begin{array}{l} < (a^{'} - ε - 3 n^{2} ε^{'})_{+} > \leq < (b_{1}^{'} {- δ)}_{+} > + \\ < b_{2}^{'} > + \dots + < b_{m}^{'} > \end{array}

最后得到

\begin{array}{l} < {(a - 2 ε)}_{+} > \leq \\ < (a - ε - 3 ε^{''} - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > \leq \\ < (a^{'} - ε - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > + < a^{''} > \leq \\ < (a^{'} - ε - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > + < d > \leq \\ < (b_{1}^{'} {- δ)}_{+} > + < d > + \\ < b_{2}^{'} > + \dots + < b_{n}^{'} > \leq \\ < b_{1} > + < b_{2} > + \dots + < b_{n} > \end{array}

第三步，假设所有的 $b_{i} (1 \leq i \leq m)$ 都不是纯正元， $a$ 是一个纯正元。由于 $b_{i} (1 \leq i \leq m)$ 都不是纯正元，因此存在投影 $p_{1}, \dots, p_{m}$ ，对于任意的 $1 \leq i \leq m, b_{i}$ Cuntz等价于 $p_{i}$ 。不妨假设对于任意的 $1 \leq i \leq m, b_{i} = p_{i}$ 。

由定理3，存在一个非零的正元 $d$ 使得 $< {(a - δ)}_{+} > + < d > \leq < a >$ 。

由于 $< a > \leq n < p_{i} >$ ，因此对于任意的 $1 \leq i \leq m$ ， $< {(a - δ)}_{+} > + < d > \leq n < p_{i}^{} >$ 。

因此存在 $v_{k} = (v_{i, j}^{k}) \in M_{n} (A), 1 \leq k \leq m, 1 \leq i, j \leq n$ 满足

\begin{array}{l} v_{i} (d i a g (p_{i}, \dots, p_{i})_{}) v_{i}^{*} = \\ d i a g ({(a - δ)}_{+} + d), 0, \dots, 0) \\ 1 \leq i \leq m \end{array}

对于 $F = \{a, b_{1}, \dots, b_{n}, d, v_{i, j}^{k}, 1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k \leq m\}$ ，和 $ε^{'} > 0$ ，由于 $A \in T A Ω$ ，存在 $A$ 的 $C * ‒$ 子代数 $B$ 和一个非零的投影 $p \in A$ ，满足 $B \in Ω$ 和 $1_{B} = p$ ，使得

（1）对于任意的 $x \in F$ ， $| | x p - p x | | < ε^{'}$ 。

（2）对于任意的 $x \in F$ ， $p x p \in_{ε^{'}} B$ 。

由（1）和（2）知，存在 $a^{'}, p_{0}^{'}, p_{1}^{'}, \dots, p_{n}^{'}, v_{i, j}^{k'} \in B$ ， $1 \leq i, j \leq n,$ $1 \leq k \leq m,$ 和 $a^{''}, p_{1}^{''}, \dots, p_{n}^{''}, v_{i, j}^{k''} \in (1 - p) A (1 - p)$ 使得

| | a - a^{'} - a^{''} | | < 3 ε^{'}

| | d - d^{'} - d^{''} | | < 3 ε^{'}

| | p_{i} - p_{i}^{'} - p_{i}^{''} | | < 3 ε^{''}

，

1 \leq i \leq m

| | v_{i, j}^{k} - v_{i, j}^{k'} - v_{i, j}^{k''} | | < 3 ε^{''}

，

1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k \leq m

记 $v_{k}^{'} = (v_{i, j}^{k'}) \in M_{n} (B)$ ， $v_{k}^{''} = (v_{i, j}^{k''}) \in M_{n} ((1 - p) A (1 - p))$ ，则有

\begin{array}{l} | | v_{i}^{'} (d i a g (p_{i}^{'}, \dots, p_{i}^{'})) v_{i}^{' *} - \\ d i a g (({a^{'}}^{'} {- δ)}_{+} + \\ d^{'}), 0, \dots, 0) | | < 3 n^{2} ε^{'} \end{array}

\begin{array}{l} | | v_{i}^{''} (d i a g (p_{i}^{''}, \dots, p_{i}^{''})) v_{i}^{'' *} - \\ d i a g (({a^{''}}^{'} {- δ)}_{+} + \\ d^{''}, 0, \dots, 0) | | < 3 n^{2} ε^{'} \\ 1 \leq i \leq m \end{array}

由定理3，得到

< (a^{'} - δ - 3 n^{2} ε^{'})_{+} + d^{'} > \leq n < p_{i}^{'} >

由于 $B \in Ω$ ，因此

\begin{array}{l} < (a^{'} - 3 n^{2} ε^{'} {- δ)}_{+} > + < d^{'} > \leq \\ < p_{1}^{'} > + \dots + < p_{m}^{'} > \end{array}

对于 $G = \{a^{''}, p_{1}^{''}, \dots p_{k}^{''}, d^{'}, v_{i, j}^{k''}, 1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k \leq m\}$ ，任意的 $ε^{''} > 0$ ，由于 $A \in T A Ω$ ，存在 $A$ 的 $C * ‒$ 子代数C和一个非零的投影 $r \in A$ ，满足 $C \in Ω$ 和 $1_{c} = r$ ，使得

① 对于任意的 $x \in G$ ， $| | x r - r x | | < ε^{''}$ 。

② 对于任意的 $x \in G$ ， $r x r \in_{ε^{''}} C$ 。

③ $< 1 - r > \leq < d^{'} >$ 。

由①和②知，存在 $a^{'''}, p_{1}^{'''}, \dots, p_{n}^{'''}, v_{i, j}^{k'''} \in B$ ， $1 \leq i, j \leq n,$ $1 \leq k \leq m,$ 和 $a^{''''}, p_{1}^{''''}, \dots, p_{n}^{''''}, v_{i, j}^{k''''} \in (1 - r) A (1 - r)$ ，使得

| | a^{''} - a^{'''} - a^{''''} | | < 3 ε^{''}

| | p_{i}^{''} - p_{i}^{'''} - p_{i}^{''''} | | < 3 ε^{''}, 1 \leq i \leq m

| | v_{i, j}^{k''} - v_{i, j}^{k'''} - v_{i, j}^{k''''} | | < 3 ε^{''}, 1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k \leq m

记 $v_{k}^{'''} = (v_{i, j}^{k'''}) \in M_{n} (C)$ ， $v_{k}^{''''} = (v_{i, j}^{k''''}) \in M_{n} ((1 - r) A (1 - r))$ ，其中 $1 \leq i, j \leq n$ ， $1 \leq k \leq m$ ，则有

| | v_{1}^{'''} (d i a g ((p_{i}^{'''}, \dots, p_{i}^{'''})) v_{i}^{''' *} - d i a g ((a^{'''} {- δ)}_{+} + d^{'''}, 0, \dots, 0) | | < 6 n^{2} ε^{''}

| | v_{1}^{'''} (d i a g ((p_{i}^{''''}, \dots, p_{i}^{''''})) v_{i}^{'''' *} - d i a g ((a^{''''} {- δ)}_{+} + d^{''''}, 0, \dots, 0) | | < 6 n^{2} ε^{''}

由定理3知，对任意的 $1 \leq i \leq m$ ，

< (a^{'''} - δ - 6 n^{2} ε^{''})_{+} + d^{'''} > \leq n < p_{i}^{'''} >

由于 $C \in Ω$ ，因此

\begin{array}{l} < (a^{'''} - δ - 6 n^{2} ε^{''})_{+} > + < d^{'''} > \leq \\ < p_{1}^{'''} > + \dots + < p_{n}^{'''} > \end{array}

最后得到

\begin{array}{l} < {(a - 2 ε)}_{+} > \leq \\ < (a - δ - 4 ε^{''} - 9 n^{2} ε^{''})_{+} > \leq \\ < (a^{'} - δ - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > + \\ < (a^{'''} - δ - 6 n^{2} ε^{''})_{+} > + < a^{''''} > \leq \\ < (a^{'} - δ - 3 n^{2} ε^{''})_{+} > + \\ < d^{'} > + < (a^{'''} - δ - 6 n^{2} ε^{''})_{+} > \leq \\ < p_{1}^{'} > + \dots + < p_{n}^{'} > + < d > + \\ < (a^{'''} - δ - 6 n^{2} ε^{''})_{+} > \leq \\ < p_{1}^{'} > + \dots + < p_{n}^{'} > + < p_{1}^{'''} > + \dots + < p_{n}^{'''} > \leq \\ < p_{1} > + \dots + < p_{n} > \end{array}

定理5^［

7］

Ω

是一类有单位元的

C * ‒

代数，

Ω

对于有单位元的可传

C * ‒

子代数和张量上一个矩阵代数是封闭的。

A \in T A Ω

是一个无限维的单的有单位元的

C * ‒

代数。

α : G \to A u t (A)

是有限群

G

作用在

C * ‒

代数

A

上，并且作用具有迹Rokhlin性质。则交叉积代数

C * (G, A, α)

也在

T A Ω

中。

下面证明定理2。

证明：由引理2、定理4 和定理5可以得到。

定理6 $Ω$ 是一类有单位元稳定有限的 $C * ‒$ 代数，对于任意的 $B \in Ω$ ， $B$ 具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质。则对于任意的单的有单位元的 $C * ‒$ 代数 $A \in T A Ω$ ， $A$ 具有 $k ‒$ 局部几乎可除性质。

证明：需要证明存在 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k} \in M_{\infty} {(A)}_{+}$ ，使得对于任意的 $1 \leq j \leq k$ ，任意的 $2 \leq m$ ， $< x_{j} \oplus x_{j} \oplus \dots \oplus x_{j} > \leq < 1 {}_{A}>$ ，且 $< 1 {}_{A}> \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i} \oplus \dots \oplus x_{i}) >$ ，其中 $x_{j}$ 重复 $m$ 次， $x_{i}$ 重复 $m + 1$ 次。

对于 $F = \{1_{A}\}$ ，由于 $A \in T A Ω$ ，存在 $A$ 的 $C * ‒$ 子代数 $B$ 和一个非零的投影 $p \in A$ ，满足 $B \in Ω$ 和 $1_{B} = p$ 。由于 $p \in B$ 和 $B \in Ω$ ，存在 $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots,$ $x_{k}^{'} \in M_{\infty} {(B)}_{+}$ ，使得 $ \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}) >$ ， $< x_{j}^{'} \oplus \dots \oplus x_{j}^{'} > \leq $ ，其中其中 $x_{j}^{'}$ 重复 $m$ 次， $x_{i}^{'}$ 重复 $m + 1$ 次。

证明这个定理分三步。

第一步，假设 $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots, x_{k}^{'} \in M_{\infty} {(B)}_{+}$ 都是投影，并且假设 $p ~ \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}),$ 其中 $x_{i}^{'}$ 重复 $m + 1$ 次。则存在一个非零投影 $q$ 使得 $< (x_{j}^{'} \oplus q) \oplus (x_{j}^{'} \oplus q) \oplus \dots \oplus (x_{j}^{'} \oplus q) > \leq $ ，其中 $x_{j}^{'} \oplus q$ 重复 $m$ 次。

对于 $F = \{1 - p\}$ ，由于 $(1 - p) A (1 -$ $p) \in T A Ω$ ，存有 $(1 - p) A (1 - p)$ 的 $C * ‒$ 子代数 $D$ 和一个非零投影 $t \in (1 - p) A (1 - p),$ 满足 $D \in Ω$ 和 $1_{D} = t$ ，使得 $< 1 - r - t > \leq < q >$ 。

由于 $t \in D$ 和 $D \in Ω$ ，因此存在 $x_{1}^{''}, x_{2}^{''}, \dots, x_{k}^{''} \in M_{\infty} {(D)}_{+}$ ，使得 $< x_{j}^{''} \oplus x_{j}^{''} \oplus \dots \oplus x_{j}^{''} > \leq < t >$ 和 $< t > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{''} \oplus \dots \oplus x_{i}^{''}) >,$ 其中 $x_{j}^{''}$ 重复 $m$ 次， $x_{i}^{''}$ 重复 $m + 1$ 次。

因此得到 $< ((x_{j}^{'} \oplus q) + x_{j}^{''}) \oplus ((x_{j}^{'} \oplus q) + x_{j}^{''}) \oplus \dots \oplus ((x_{j}^{'} \oplus q) + x_{j}^{''}) > \leq + < 1 - p - t > + < t > =$

< 1_{A} > \leq < p > \oplus < q > + < t > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} ((x_{j}^{'} \oplus q) \oplus \dots \oplus (x_{j}^{'} \oplus q)) >

+ < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{''} \oplus \dots \oplus x_{i}^{''}) > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (((x_{j}^{'} \oplus q) + x_{j}^{''}) \oplus ((x_{j}^{'} \oplus q) + x_{j}^{''}) \oplus \dots \oplus ((x_{j}^{'} \oplus q) + x_{j}^{''})) > .

第二步，假设 $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots, x_{k}^{'} \in M_{\infty} {(B)}_{+}$ 都是投影，且 $ < < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}) >$ ，其中 $x_{i}^{'}$ 重复 $m + 1$ 次。则存在非零投影 $s$ ，使得 $ + < s > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}) >$ 。

对于 $F = \{1 - p\}$ ，由于 $(1 - p) A (1 -$ $p) \in$ $T A Ω$ 存有 $(1 - p) A (1 - p)$ 的 $C * -$ 子代数 $D$ 和一个非零投影 $t \in (1 - p) A (1 - p),$ 满足 $D \in Ω$ 和 $1_{D} = t$ ，使得 $< 1 - r - t > \leq < s >$ 。

由于 $t \in D$ 和 $D \in Ω$ ，因此存在 $x_{1}^{''}, x_{2}^{''}, \dots, x_{k}^{''} \in M_{\infty} {(D)}_{+}$ ，使得 $< x_{j}^{''} \oplus x_{j}^{''} \oplus \dots \oplus x_{j}^{''} > \leq < t >$ 和 $< t > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{''} \oplus \dots \oplus x_{i}^{''}) >$ ，其中 $x_{j}^{''}$ 重复 $m$ ， $x_{i}^{''}$ 重复 $m + 1$ 次。

因此得到 $\begin{array}{l} < (x_{j}^{'} + x_{j}^{''}) \oplus (x_{j}^{'} + x_{j}^{''}) \oplus \dots \oplus (x_{j}^{'} + x_{j}^{''}) > \leq \\ + < 1 - p - t > + < t > = < 1_{A} > \leq \end{array}$

< p \oplus s > + < t > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{j}^{'} \oplus \dots \oplus x_{j}^{'}) > +

< \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{''} \oplus \dots \oplus x_{i}^{''}) > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (((x_{j}^{'} \oplus x_{j}^{''}) \oplus (x_{j}^{'} + x_{j}^{''}) \oplus \dots \oplus (x_{j}^{'} + x_{j}^{''})) >

第三步，假设 $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots, x_{k}^{'}$ 中存在一个纯正元，不妨设 $x_{1}^{'}$ 是纯正元。由于 $ \leq < \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}) >$ ，对于任意的 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，满足

< p > = < {(p - ε)}_{+} > \leq < (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} \oplus (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} \dots \oplus (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} \oplus_{i = 2}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}) >

其中 $(x_{1}^{'} {- δ)}_{+}$ 和 $x_{1}^{'}$ 重复 $m + 1$ 次。

由定理3，存在一个非零的正元 $d$ ，使得 $< (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} > + < d > \leq < x_{1}^{'} >$ 。

对于 $F = \{1 - p\}$ ，由于 $(1 - p) A (1 -$ $p) \in T A Ω$ ，存有 $A$ 的 $C * -$ 子代数 $D$ 和一个非零投影 $t \in (1 - p) A (1 - p),$ 满足 $D \in Ω$ 和 $1_{D} = t$ ，使得 $< 1 - r - t > \leq < d >$ 。

因此得到 $< (x_{j}^{''} + x_{j}^{'}) \oplus (x_{j}^{''} + x_{j}^{'}) \oplus \dots \oplus (x_{j}^{''} + x_{j}^{'}) > \leq + < 1 - p - t > + < t > = < 1_{A} > \leq$ $ + < t > \leq < (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} \oplus (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} \oplus \dots \oplus (x_{1}^{'} {- δ)}_{+} \oplus d \oplus_{i = 2}^{k} (x_{i}^{'} \oplus \dots \oplus x_{i}^{'}) > +$ $< \oplus_{i = 1}^{k} (x_{i}^{''} \oplus \dots \oplus x_{i}^{''}) > \leq < \oplus_{i = 1}^{k} ((x_{j}^{'} \oplus x_{j}^{''}) \oplus (x_{j}^{'} + x_{j}^{''}) \oplus \dots \oplus (x_{j}^{'} + x_{j}^{''})) >$

下面给出定理1的证明。

证明：由引理2，定理5和定理6可以得到。

作者贡献声明

杨君：具体撰写论文。

方小春：提出研究选题。

范庆斋：参与讨论研究。

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