分数阶黏弹性饱和地基与板的共同作用

摘要

基于层状分数阶黏弹性横观各向同性饱和地基的固结解答，采用边界元法与有限元法耦合的方法，探讨板与黏弹性饱和地基的共同作用。首先基于Mindlin中厚板理论，得到板的总刚度矩阵方程；随后引入分数阶黏弹性饱和地基的精细积分解答，获得地基柔度矩阵方程；最后利用板‒土协调条件，得到黏弹性饱和地基与板共同作用的解答。与已有文献对比，验证了本文解的正确性，并讨论黏弹性饱和地基参数和地基加固深度等因素对筏板与地基共同作用的影响。

关键词

层状饱和地基; 横观各向同性; 分数阶黏弹性; Mindlin板; 板‒土共同作用; 时效性

板具有刚度大、整体性好、可抵抗复杂荷载等优点，广泛应用于软土地区实际工程中。虽然一些学者^［1-2］基于固结理论对饱和地基与板的共同作用问题进行了研究，然而饱和软土地基在受荷后，除了主固结沉降之外，还存在次固结沉降，即土体的流变现象。因此，基于饱和软土的固结流变理论进行板‒土共同作用分析具有重要的理论和工程价值。Nassar^［3］和Kobayashi等^［4］采用弹性‒黏弹性对应原理，分别研究了线性黏弹性地基上的圆形板和矩形厚板的弯曲问题。寇磊^［5］比较分析了弹性模型、经典Kelvin黏弹性模型和分数阶微分Kelvin黏弹性模型在研究板‒土共同作用问题上的差异。Zhang 等^［6］研究了分数阶Zener黏弹性地基上四边简支的弹性板。近年来，一系列研究证明经典的整数阶流变模型具有一定的局限性，分数阶流变模型使用参数更少，能有效反映材料的记忆效应，更适于表现材料的黏弹性力学响应^［7-8］。为此，本文基于层状分数阶黏弹性横观各向同性饱和地基的固结解答^［9］，引入Mindlin中厚板理论，将板的有限单元与地基表面的边界单元进行耦合，以求解板‒土共同作用问题，并讨论分数阶黏弹性饱和地基参数和地基加固深度等因素对板与地基共同作用时效的影响。

1 Mindlin板与地基共同作用方程

板与层状黏弹性横观各向同性饱和地基共同作用的模型如图1所示，其中，$L\mathrm{、}B\mathrm{、}{h}_{\mathrm{r}}$分别表示板的长、宽和厚度；$E_{\mathrm{0}\mathrm{v}}$和$E_{\mathrm{1}\mathrm{v}}$分别为分数阶黏弹性模型中线弹性体和Kelvin体的竖向弹性模量；$E_{\mathrm{h}}$为水平向弹性模量；$G_{\mathrm{v}}$为土体剪切模量；${\eta }_{\mathrm{1}\mathrm{v}}$为分数阶黏弹性模型中Abel黏壶的黏滞系数；${\nu }_{\mathrm{h}}$和${\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}$分别为水平应力引起正交水平向应变的泊松比和竖向应力引起水平向应变的泊松比；$h$为每层土体的厚度；$k_{\mathrm{h}}$和$k_{\mathrm{z}}$分别为水平向和竖向的渗透系数。

图1  板与层状黏弹性饱和地基共同作用示意图

Fig.1  Model of multilayered viscoelastic saturated soils and plate

1.1　Mindlin板的总刚度矩阵方程

Mindlin板理论在Kinchhoff薄板理论的基础上计入板的横向剪应变影响，更加符合板的实际情况。其总刚度矩阵方程可以表示为^［10］

$${\mathit{K}}_{\mathbf{r}}\mathit{\delta }=\mathit{P}$$

（1）

式中：${\mathit{K}}_{\mathbf{r}}=\sum _e{\mathit{K}}_{\mathrm{r},e}^{}$，$\mathit{\delta }=\sum _e{\delta }_e$，$\mathit{P}=\sum _e{P}_e$分别为组装后的板的总刚度矩阵、节点位移和等效节点荷载向量。

考虑到板的单元刚度矩阵并不随时间变化，将板的荷载向量拆分为由外力产生的等效节点荷载向量和由基底反力产生的等效节点荷载向量，则板的总刚度矩阵方程式（1）可改写为

$${\mathit{K}}_{\mathrm{r}}\mathit{\delta }\left(t\right)={\mathit{F}}_{\mathrm{r}}\left(t\right)-{\mathit{R}}_{\mathrm{r}}\left(t\right)$$

（2）

式中：$\mathit{\delta }(t)$、${\mathit{F}}_{\mathrm{r}}(t)$和${\mathit{R}}_{\mathrm{r}}(t)$分别为$t$时刻板的节点位移、已知外荷载和基底反力产生的等效节点力向量。

1.2　分数阶黏弹性饱和地基的柔度矩阵方程

地基表面的单元格划分与板的有限单元格划分完全一致，并将边界上的节点称为“板‒土节点”。假定$t$时刻地基表面任意一点的缓变荷载可以用该点所在地基单元$e$上8个节点的边界力来表示，其荷载应满足以下二维8节点单元的插值函数关系：

$$q(i,t)=\mathit{N}{\mathit{q}}_{\mathrm{s},e}^{}(t)$$

（3）

式中：$q(i,t)$为任意点$i$在$t$时刻的荷载；${\mathit{q}}_{\mathrm{s},e}^{}(t)$为$i$点所在地基单元8个节点的竖向边界力向量；$\mathit{N}=[N_{\mathrm{1}},N_{\mathrm{2}},\cdots ,N_{\mathrm{8}}]$，为$C_{\mathrm{0}}$型二维8节点单元的插值函数^［10］，有

$$\begin{array}{l}{N}_i=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}(\mathrm{1}+x^{\mathrm{*}}{x}_i^{\mathrm{*}})(\mathrm{1}+y^{\mathrm{*}}{y}_i^{\mathrm{*}})(x^{\mathrm{*}}{x}_i^{\mathrm{*}}+y^{\mathrm{*}}{y}_i^{\mathrm{*}}-\mathrm{1})i=\mathrm{1}~\mathrm{4}\\ N_i=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-x^{\mathrm{*}}{x}_i^{\mathrm{*}})(\mathrm{1}+y^{\mathrm{*}}{y}_i^{\mathrm{*}})i=\mathrm{5,7}\\ N_i=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(\mathrm{1}+x^{\mathrm{*}}{x}_i^{\mathrm{*}})(\mathrm{1}-y^{\mathrm{*}}{y}_i^{\mathrm{*}})i=\mathrm{6,8}\end{array}$$

（4）

式中：$x_i^{\mathrm{*}}$和$y_i^{\mathrm{*}}$分别为局部坐标中第$i$个节点在$x^{\mathrm{*}}$和$y^{\mathrm{*}}$方向的坐标值；$x^{\mathrm{*}}$和$y^{\mathrm{*}}$分别为局部坐标中的$x$和$y$轴。

在板与饱和地基相互作用的过程中，由于孔隙水的存在，板底部的地基反力和变形是随时间缓慢变化的。于是，任意地基单元$i$在$t$时刻受到的作用力具有如下积分型表达^［2］：

$$q(i,t)=q(i,\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t\frac{\partial q(i,\tau )}{\partial t}\mathrm{d}\tau$$

（5）

式中：$q(i,\mathrm{0})$和$q(i,t)$分别为0时刻和$t$时刻作用在板单元$i$上的作用力。

因此，$t$时刻由$i$板单元下的地基表面受到的作用力引起的$j$节点处地基表面的位移可表示为

$$u(j,i,t)=I_{\mathrm{s}}(j,i,t)q(i,\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t{I}_s(j,i,t-\tau )\frac{\partial q(i,\tau )}{\partial \tau }\mathrm{d}\tau$$

（6）

式中：$I_{\mathrm{s}}(j,i,t)$为在第$i$个地基单元表面作用单位均布荷载，经过$t$时间段时，在板$j$节点下地基表面处产生的竖向位移，可根据层状分数阶黏弹性横观各向同性饱和地基的精细积分解^［9］求得。

将式（3）代入式（6）并进行Laplace变换，可得到Laplace变换域内$s$时刻地基表面点$i(x_i,y_i,\mathrm{0})$处作用竖向荷载时地基表面任意点$j(x_j,y_j,\mathrm{0})$处的竖向位移如下：

$$\tilde{u}(j,i,s)=s{\tilde{I}}_{\mathrm{s}}(j,i,s)\mathit{N}{\tilde{\mathit{q}}}_{\mathrm{s},e}^{}(s)$$

（7）

将式（7）应用于所有地基单元并积分，即可得到以下Laplace变换域内板‒土节点竖向位移与竖向边界力之间的关系：

$${\tilde{\mathit{u}}}_{\mathrm{s}}(s)={\tilde{\mathit{H}}}_{\mathrm{s}}(s){\tilde{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}(s)$$

（8）

式中：${\tilde{\mathit{H}}}_{\mathrm{s}}(s)$为Laplace变换域内的地基柔度矩阵，${\tilde{\mathit{u}}}_{\mathrm{s}}(s)$和${\tilde{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}(s)$分别为Laplace变换域内地基表面板‒土节点的竖向位移向量和竖向边界力向量。

1.3　板与地基共同作用方程的建立

为进一步求解板与地基的共同作用问题，需要实现板有限单元和地基边界单元的耦合，即建立边界元方程式（3）中竖向边界力向量${\mathit{q}}_{\mathrm{s}}$与有限元方程式（2）中基底反力产生的等效节点力向量${\mathit{R}}_{\mathrm{r}}$之间的转换矩阵。根据有限元理论中荷载分量二维8节点的插值关系，由板单元下地基反力产生的单元$e$所受的等效节点力向量可表示为

$${\mathit{R}}_{\mathrm{s},e}^{}(t)={\int }_{S_e}^{}{\mathit{N}}^{T}q(i,t)\mathrm{d}{S}_e$$

（9）

式中：${\mathit{R}}_{\mathrm{s},e}^{}(t)$为板单元$e$下地基反力引起的作用于板单元上的等效节点力向量，且仅含竖向力；$S_e$为板单元与地基接触面的面积。

将式（3）代入式（9），即可建立以下单元$e$中竖向边界力向量和等效节点力向量之间的转换关系：

$${\mathit{R}}_{\mathrm{s},e}^{}(t)={\mathit{T}}_{\mathit{e}}{\mathit{q}}_{\mathrm{s},e}^{}(t)$$

（10）

式中：${\mathit{T}}_{\mathit{e}}={\int }_{S_e}{N}^{\mathrm{T}}N\mathrm{d}{S}_e$。

将式（10）应用于所有板单元，并进行Laplace变换，之后根据有限元的集成原理，即可组装得到以下Laplace变换域内竖向边界力向量与由地基反力产生的等效节点力向量之间的转换关系：

$${\tilde{\mathit{R}}}_{\mathrm{s}}(t)=\tilde{\mathit{T}}{\tilde{\mathit{q}}}_{\mathrm{s}}(s)$$

（11）

式中：$\tilde{\mathit{T}}=\sum _e{\tilde{T}}_e$。

将式（11）代入式（8），即可建立以下Laplace变换域内板‒土节点竖向位移和等效竖向节点力之间的关系：

$${\tilde{\mathit{k}}}_{\mathrm{s}}(s){\tilde{\mathit{u}}}_{\mathrm{s}}(s)={\tilde{\mathit{R}}}_{\mathrm{s}}(s)$$

（12）

式中：${\tilde{\mathit{k}}}_{\mathrm{s}}(s)=\tilde{\mathit{T}}{\tilde{\mathit{H}}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}(s)$。

将式（12）的刚度矩阵中与转角和弯矩所对应的行列进行零值扩充，使板与地基的刚度矩阵方程维数相同，于是式（12）可重写为

$${\widetilde{\mathit{{\rm K}}}}_{\mathrm{s}}(s){\tilde{\mathit{U}}}_{\mathrm{s}}(s)={\tilde{\mathit{R}}}_{\mathrm{r}}(s)$$

（13）

式中：${\tilde{\mathit{U}}}_{\mathrm{s}}(s)$为${\tilde{\mathit{u}}}_{\mathrm{s}}(s)$扩充转角未知量后的向量；${\tilde{\mathit{R}}}_{\mathrm{r}}(s)$为${\tilde{\mathit{R}}}_{\mathrm{s}}(s)$扩充弯矩未知量后的向量；${\tilde{\mathit{K}}}_{\mathrm{s}}(s)$为${\tilde{\mathit{k}}}_{\mathrm{s}}(s)$经零值扩充后地基的总刚度矩阵。

假设板与地基的接触面光滑且紧密接触，则地基表面板‒土节点的位移向量与板的节点位移向量应该完全相等，即

$${\mathit{U}}_{\mathrm{s}}(t)=\mathit{\delta }(t)$$

（14）

对式（2）和式（14）进行Laplace变换，然后结合式（13）消去地基反力向量，即可得到板与地基共同作用的总矩阵方程为

$${\tilde{\mathit{U}}}_{\mathrm{s}}=({\tilde{\mathit{K}}}_{\mathrm{r}}+{\tilde{\mathit{K}}}_{\mathrm{s}}{)}^{-\mathrm{1}}{\tilde{\mathit{F}}}_{\mathrm{r}}$$

（15）

求解式（15）即可得到Laplace变换域内各节点的转角与位移分量，而物理域内的真实解答可通过相应的Laplace数值逆变换^［11］求得。

2 数值计算与分析

为验证本文所提出解答的正确性，此处将层状黏弹性饱和地基上的矩形板受集中荷载的解答与基于ABAQUS的解答进行对比，计算模型如图2所示，板与地基的参数选取如图2及表1所示。图2和表1中，$E_{\mathrm{0}}$为分数阶Merchant模型串联段Hooke体弹性模量，$E_{\mathrm{1}}$为并联段Hooke体弹性模量，$E_{\mathrm{r}}$为板刚度，h_r为板厚，ν${}_{\mathrm{r}}$为板的泊松比，${\eta }_{\mathrm{1}}$为地基土的黏滞系数，$k$为渗透系数。为了减少计算时间，ABAQUS采用1/4对称建模，土体尺寸为25 m×25 m，深度30 m。土体部分采用C3D8P单元，单元数量50 000个，筏板采用C3D8I单元，单元数量2 700个。

图2  黏弹性饱和地基上的矩形板

Fig.2  Model of viscoelastic saturated soils and rectangular plate

表1  黏弹性饱和地基参数

Tab. 1  Parameters of viscoelastic saturated soil

土体	$E_0/\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$	$E_1/\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$	${\eta }_1/(\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot \mathrm{s})$	$k/(\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1})$	${\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}$
土层1	20	20	1×106	1×10-7	0.25
土层2	2	2	1×107	1×10-8	0.25
土层3	40	40	1×107	1×10-7	0.25

板中心点处地基沉降$w_{\mathrm{o}}$随时间变化的计算结果如图3所示。由图3可见，本文解答与基于ABAQUS的计算结果吻合较好，证明了本文理论及计算程序的正确性。此外，本文使用AMD Ryzen 3600处理器单核进行运算时，通过ABAQUS完成计算共耗时3 970 s，而使用本文理论编制程序进行计算仅需922 s，由此可见本文方法具有较高的计算效率。

图3  板中心点处黏弹性饱和地基沉降随时间的变化

Fig.3  Time-settlement of viscoelastic saturated soils at the center of the plate

2.1　土骨架黏弹性和横观各向同性的影响分析

为了研究黏弹性饱和地基参数对板与地基共同作用的影响，参照文献［9］选取6种工况，如表2所示，其中$E_{\mathrm{0}\mathrm{h}}$与$E_{\mathrm{0}\mathrm{v}}$分别为水平方向与竖直方向的弹性模量，$\alpha$为分数阶次。其余地基土参数如下：泊松比${\nu }_{\mathrm{h}}={\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}=\mathrm{0.35}$，渗透系数$k_{\mathrm{v}}=\mathrm{5}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{8}}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}$，地下水压缩系数$\beta =\mathrm{0}$，孔隙度$n=\mathrm{0.5}$，地下水重度${\gamma }_{\mathrm{w}}=\mathrm{10}\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^{-\mathrm{3}}$，终态弹性模量$E^{\mathrm{*}}=E_{\mathrm{0}}{E}_{\mathrm{1}}/(E_{\mathrm{0}}+E_{\mathrm{1}})=\mathrm{5}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$。地基模型如图4中插图所示，地基参数含义与前文相同，板长宽$L=B=\mathrm{10}\mathrm{m}$，厚$h_{\mathrm{r}}=\mathrm{0.5}\mathrm{m}$，泊松比${\nu }_{\mathrm{r}}=\mathrm{0.2}$。为体现参数选取的一般性，选取量纲一参数进行分析：量纲一时间$\tau =\frac{(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})E_{\mathrm{1}\mathrm{v}}{k}_{\mathrm{v}}}{(\mathrm{1}+{\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})(\mathrm{1}-\mathrm{2}{\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})B^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{w}}}t$，板‒土相对刚度比$K_{\mathrm{r}\mathrm{s}}=\frac{(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}^{\mathrm{2}})E_{\mathrm{r}}{h}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{3}}}{(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}})E_{\mathrm{1}\mathrm{v}}{B}^{\mathrm{3}}}=\mathrm{0.2}$，量纲一位移$w^{\mathrm{*}}=\frac{E_{\mathrm{1}\mathrm{v}}w}{Bp}$，量纲一差异沉降$\mathrm{\Delta }{w}^{\mathrm{*}}=\frac{E_{\mathrm{1}\mathrm{v}}\left|w\left(c\right)-w\left(o\right)\right|}{Bp}$。

表2  6种工况的黏弹性饱和地基参数

Tab. 2  Viscoelastic saturated soil parameters for 6 cases

工况	$E_0/E_1$	${\eta }_1/(\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot \mathrm{s})$	$E_{0\mathrm{h}}/E_{0\mathrm{v}}$	$\alpha$
工况1	2	1×106	1.0	0.7
工况2	2	1×106	1.0	0.7
工况3	2	1×106	1.0	0.7
工况4	2	1×106	0.5	0.7
工况5	2	1×106	2.0	0.7
工况6	2	1×106	1.0	0.9

图4  黏弹性饱和地基参数对板中线处地基沉降的影响（$\mathit{\tau }={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}$）

Fig.4  Influence of soil parameters on ground settlement at the center line of the plate ($\mathit{\tau }={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}$)

从图4可知，工况1、2、3具有相同的终态模量，所以它们终态时刻地基沉降曲线重合，即最终地基沉降量w${}^{\mathrm{*}}$相同；工况4、1、5的横向弹性模量逐渐增大，所以最终地基沉降依次减小。从图5可知，$E_{\mathrm{0}}/E_{\mathrm{1}}$和${\eta }_{\mathrm{1}}$越大，同时刻的地基沉降w${}_{\mathrm{o}}^{\mathrm{*}}$越小，且黏滞系数${\eta }_{\mathrm{1}}$的影响更为显著。由工况2、6可以看出，分数阶次$\alpha$对最终沉降没有影响，但$\alpha$越大，地基的固结沉降发展速率越快。

图5  黏弹性饱和地基参数对板中心点地基沉降的影响

Fig.5  Influence of soil parameters on ground settlement at the center of the plate

2.2　地基加固深度的影响分析

实际工程中的天然地基常常不能满足需求，于是经常采用加固表层土的地基处理方式来改善地基的整体性质。本节研究地基加固深度对沉降的影响。加固深度分别取为$h_{\mathrm{c}}=\mathrm{0}\mathrm{、}\mathrm{2}\mathrm{、}\mathrm{4}\mathrm{、}\mathrm{6}\mathrm{、}\mathrm{8}\mathrm{、}\mathrm{10}\mathrm{m}$。地基模型如图6中插图所示，土层1为加固土层，土层2和土层3分别为天然地基的上层土和下层土，其中土层3为弹性饱和土层，所有土层参数如表3所示。板‒土相对刚度比$K_{\mathrm{r}}=\frac{(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}^{\mathrm{2}})E_{\mathrm{r}}{h}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{3}}}{(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}})E_{\mathrm{1}\mathrm{v}}{B}^{\mathrm{3}}}=\mathrm{0.5}$，其余板参数则与上节相同。

图6  地基加固深度对板中线处地基沉降的影响($\mathit{\tau }={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}$)

Fig.6  Influence of reinforcement depth on ground settlement at the center line of the plate ($\mathit{\tau }={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}$)

表3  黏弹性饱和土体参数

Tab. 3  Parameters of viscoelastic saturated soil

土体	$E_0/\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$	$E_1/\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$	${\eta }_1/(\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot \mathrm{s})$	$\alpha$	${\nu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}$
土层1	30	15	1×107	0.7	0.35
土层2	15	7.5	1×106	0.7	0.35
土层3	20				0.25

图6为采取不同地基加固深度时板中线处的终态（$\tau ={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}$）地基沉降曲线，图7为板中心点地基沉降随时间的变化。

图7  地基加固深度对板中心点地基沉降的影响

Fig.7  Influence of reinforcement depth on ground settlement at the center of the plate

由图6、7可见，即便加固深度很小，加固表土层依然能够明显减小地基土的沉降；但随着加固深度的增大，沉降减小效率逐渐降低。地基加固深度对板差异沉降的影响见图8。由图8可知，加固深度的增加能够有效减小板的差异沉降$\mathrm{\Delta }$w${}^{\mathrm{*}}$，且差异沉降的减小幅度同样随着加固深度的增大而逐渐减小。为了更直观地分析地基加固深度与加固效率之间的关系，这里给出基础板中心点下单位加固深度地基沉降减小效率χ随加固深度的变化曲线，如图9所示。由图9可见，地基沉降的减小效率随着加固深度的增加而减小，且地基加固深度在$\mathrm{0.2}B~\mathrm{0.4}B$的范围内较为经济有效。

图8  地基加固深度对板差异沉降的影响

Fig.8  Influence of reinforcement depth on differential settlement of the plate

图9  不同地基加固深度下的地基沉降减小效率

Fig.9  Teduction efficiency of ground settlement at different reinforcement depths

3 结论

为更好地描述软土地基与板相互作用的时变行为，本文基于分数阶黏弹性模型的层状横观各向同性饱和土的Biot固结解答，采用边界元法与有限元法耦合的方法，推导了层状黏弹性饱和地基与板共同作用的解答。在此基础上，分析了黏弹性饱和地基参数和地基加固深度对地基沉降的影响。主要结论有：

（1）土骨架黏弹性对基础板与地基共同作用的影响主要体现在固结流变的时效性上，$E_{\mathrm{0}}/E_{\mathrm{1}}$和${\eta }_{\mathrm{1}}$越小，分数阶次$\alpha$越大，地基的固结沉降发展速率越快。

（2）横观各向同性的影响主要体现在地基沉降值的变化上，横向弹性模量越大，最终地基沉降越小。

（3）加固表土层能够明显降低地基的沉降与差异沉降，但随着加固深度的增加，单位加固深度的加固效率逐渐降低。综合考虑分析可知，地基加固深度在$\mathrm{0.2}B~\mathrm{0.4}B$的范围内较为经济有效。

作者贡献声明

艾智勇：提出理论分析方法，指导理论求解及数值分析，指导文章撰写及修改。

王大山：参与算例的设计及分析，参与完成文章初稿，进行稿件修改。

慕金晶：理论求解及数值分析，完成文章初稿。