两种固结方式下软黏土三轴不排水剪切的模量

摘要

原位软土处于K₀固结状态因此变形具有显著的非线性和各向异性，然而室内三轴剪切试验通常采用等向固结方式，目前对K₀固结和等向固结两种方式下不排水剪切的模量E_u的差别还未系统的对比总结过。采用上海软黏土的原状土样和重塑土样，进行了三轴等向固结压缩（ICUC）、K₀固结压缩（ACUC）和K₀固结拉伸（ACUE）三种不排水剪切试验，对比分析了应力‒应变曲线、不排水模量E_u的非线性特性以及双曲线模型的参数值。研究结果表明，同等应变下ICUC试验的E_u与ACUE试验相近，但要大于ACUC试验值；ACUC试验与ACUE试验具有相近的初始模量和破坏比。结合试验结果和双曲线模型，推导给出了适用于这三种试验的归一化模量的统一表达式，并给出了上海软黏土的参数值。

关键词

软黏土; 非线性; 不排水模量; K₀固结。

在软土不排水剪切变形的总应力法分析中，当采用等效线弹性模型时需要确定弹性模量E和泊松比μ两个参数。由于不排水剪切情况下泊桑比μ为0.5，因此根据土体的变形大小确定合适的不排水模量E_u就成为重点。原位软土处于K₀固结状态，其不排水剪切变形具有明显的非线性与各向异性特征^［1-3］。在剪切变形非线性模拟方面，Konder等^［4］提出的双曲线模型是一个重要的工具，广泛用于确定剪切过程中的割线模量或者切线模量^［5-8］，割线模量用于等效线性分析而切线模量用于非线性增量分析。关于K₀固结土体的非线性变形特征，国内外已经开展了大量的研究工作。Clough^［9］、Vaid ^［10］研究了双曲线模型在K₀固结土不排水剪切变形中的应用。曾国熙等^［11］采用金山黏土进行了三轴不排水剪切试验，发现等压固结软土与K₀固结软土的强度指标基本相同，而变形参数有较大差别，但并未给出具体的分析。杨同帅等^［12］研究了K₀固结上海黏性土的不排水剪切变形特性，认为 Hardin-Drnevich模型能够较好地模拟不排水模量E_u的非线性特性。

三轴剪切试验是研究土体不排水剪切变形特性的重要手段^［2］。K₀固结三轴剪切试验在试验设备与试验技术上都要比常规的等向固结三轴剪切试验复杂，因此工程中仍然普遍采用等向固结三轴不排水剪切试验（简称ICUC试验）来获得软土的不排水模量E_u。对比这两种固结状态下的不排水模量E_u的非线性特性，对ICUC试验结果的评价有重要的意义。另外，尽管近些年来关于K₀固结土的各向异性本构模型的研究取得较大的进展，但目前主流岩土工程有限元软件中采用的本构模型仍然以各向同性模型为主，例如摩尔‒库伦模型、剑桥模型、修正剑桥模型、硬化土模型，而极少采用能够考虑K₀固结软土各向性的本构模型。因此研究不排水模量E_u的合理取值，对软土工程数值分析中等效线弹性模型的应用也具有重要的意义。

本文采用应力路径三轴仪，对上海软黏土原状土样与重塑土样进行K₀固结与等压固结的三轴不排水剪切试验，对比两种固结模式下的应力‒应变曲线和不排水模量的大小，并给出基于双曲线模型的不排水模量的统一表达式。研究成果可为计算分析中软土不排水模量的合理确定提供依据。

1 试验土样与方案

1.1　试验土样

试验土样采用上海软黏土。原状土样取自上海某地铁车站基坑，取土深度为10 m，为上海第四层淤泥质黏土，将直径为35 cm、高为20 cm的PVC（聚氯乙烯）管压入坑底土中取得质量较高的块状土样。由常规土工试验得到的物理性质见表1。重塑土样的制备方法为：原状土样风干、碾碎、过筛后，加水制成含水量为1.75倍液限的泥浆，然后在直径为10 cm、高为20 cm的不锈钢固结仪中在75 kPa下固结一周。三轴试样的直径为3.91 cm，高度为7.8 cm，侧面贴滤纸条以加速排水。

表1  上海软粘土的物理性质

Tab. 1  Physical properties of Shanghai soft clay

含水率w	液限 wL	塑限 wP	塑性指数Ip	重度 Gs	颗粒级配
					黏土	粉土	砂土
47 %	43 %	19 %	24	2.75	30 %	70 %	0

1.2　试验方案

三轴试验采用英国GDS公司生产的应力路径三轴仪，试验方案见表2。试验分为三组：① 等向固结不排水剪切试验（简称ICUC试验）；② K₀固结不排水压缩剪切试验（简称ACUC试验）；③ K₀固结不排水拉伸剪切试验（简称ACUE试验）。试验编号中的首字母N和R分别代表原状土样和重塑土样。三组试验（ICUC、ACUC、ACUE）中原状土和重塑土分别进行了两个固结压力的试验，共计12个试验。所有试验的竖向固结压力超过了原位应力以保证试样处于正常固结状态，各试验中的固结压力（围压σ′_rc和轴压σ′_vc）以及固结后试样的孔隙比e_c见表2。K₀固结过程如下：反压饱和后（反压值150 kPa），在双面排水状态下按照σ′_rc/σ′_vc=0.5的比例同时缓慢施加围压σ′_rc和轴压σ′_vc到预定值，加载时间约40 h；随后在恒定荷载下再固结8 h。采用此方法固结过程中径向应变非常小，接近K₀固结状态。土样固结后进行不排水剪切至破坏，总时间约8 h。ICUC和ACUC试验中施加恒定的轴向位移速率（0.8 mm·h^-1）至破坏；ACUE试验中施加恒定的围压加载速率至破坏。

表2  试验方案及不排水抗剪强度

Tab. 2  Test plan and tests results of undrained shear strength

试验编号		孔隙比 ec	围压σ′rc /kPa	轴压σ′vc /kPa	破坏偏应力qf /kPa	不排水抗剪强度cu /kPa	归一化强度cu /σ′vc
ICUC	NIC1	1.100	150	150	112	56.2	0.37
	NIC2	0.940	300	300	185	92.3	0.31
	RIC1	0.729	200	200	143	71.6	0.36
	RIC2	0.675	390	390	269	134.7	0.35
ACUC	NAC1	1.260	55	109	77	38.4	0.35
	NAC2	1.100	105	200	120	60.1	0.30
	RAC1	0.855	55	106	65	32.5	0.31
	RAC2	0.765	127	248	152	76.1	0.31
ACUE	NAE1	1.254	60	112	-55	27.4	0.24
	NAE2	1.102	100	200	-89	44.5	0.22
	RAE1	0.868	50	95	-47	22.8	0.24
	RAE2	0.765	130	250	-106	53	0.21

2 试验结果

2.1　应力-应变曲线与不排水抗剪强度

图1给出了ICUC、ACUC、ACUE三种剪切试验的偏应力q（即σ_v-σ_r，为轴压减去围压）与轴向应变ε_a的关系曲线。在三轴不排水剪切试验中工程剪应变γ与轴向应变ε_a的关系为γ=3ε_a/2。从图1可以看出：① 应力‒应变曲线均为应变硬化型，并表现出显著的非线性；② ACUE试验曲线的非线性比ICUC试验和ACUC试验的强一些，表明非线性变形具有明显的各向异性；③ 强度发挥差别较大，ACUC试验的破坏应变最小（约为0.5 %），其次为ICUC试验（约为2 %~5 %），ACUE试验的试验破坏应变在6 %以上。

图1  三种不排水剪切试验的q⁃ε_a曲线

Fig. 1  q⁃ε_a curves obtained by three types of undrained shear tests

统一以轴向应变ε_a=10 %为破坏标准得到的破坏偏应力q_f（即σ_vf-σ_rf，为破坏时轴压减去破坏时围压）、不排水抗剪强度c_u（即|q_f|/2）以及归一化强度c_u/σ′_vc见表2所示。可以看出，ICUC试验与ACUC试验的归一化强度c_u/σ′_vc相差不大，大致在0.30~0.37之间，平均值为0.33；ACUE试验的c_u/σ′_vc在0.21~0.24之间，平均值为0.23，约为ICUC试验与ACUC试验的0.7倍；同一类型试验中重塑土样和原状土样的c_u/σ′_vc差别不大。

2.2　E_u50

不排水模量E_u（割线模量）的定义为E_u=|q-q₀|/ε_a，其中q₀为初始偏应力（即σ′_vc-σ′_rc，为初始轴压减去初始围压），不排水模量E_u与不排水剪切模量G_u的关系为G_u=E_u/3。由于模量具有非线性，工程应用中通常采用E_u50，即偏应力q=q_f/2对应的割线模量。图2中给出了三种试验中确定E_u50的方法，其中下标C代表压缩剪切，E代表拉伸剪切，q₀为初始偏应力（在ICUC试验中为0）。表3给出了三种试验得到的E_u50及其归一化值E_u50/σ′_vc和E_u50/c_u。根据这些归一化模量值，就能通过有效竖向应力σ′_vc（通过埋深确定）或不排水抗剪强度c_u（通过室内试验或原位测试确定）来预估E_u50。

图2  确定E_u50示意图

Fig. 2  Illustration of determination of E_u50

表3  三种不排水剪切试验得到的E_u50

Tab. 3  E_u50 obtained by three types of undrained shear tests

试验 类型	试验 编号	Eu50 （MPa）	Eu50/σ′vc		Eu50/cu
			实测值	平均值		实测值	平均值
ICUC	NIC1	9.1	60.45	69.2	153.8		203.5
	NIC2	23.4	77.89		253.2
	RIC1	11.2	56.50	44.5	156.3		124.9
	RIC2	12.6	32.45		93.5
ACUC	NAC1	5.8	52.82	53.8	165.3		173.4
	NAC2	10.9	54.54		181.5
	RAC1	9.3	87.67	99.5	286.1		327.55
	RAC2	27.6	111.39		369.6
ACUE	NAE1	5.0	44.23	39.3	193.7		173.9
	NAE2	6.9	34.31		154.1
	RAE1	9.0	94.79	89.3	394.3		385.3
	RAE2	20.9	83.78		376.3

由表3给出的结果可以得到以下结论：① 等向固结试验中原状土的E_u50/σ′_vc和E_u50/c_u平均值大于重塑土，但K₀固结试验中原状土的平均值小于重塑土；② 原状土的等向固结试验给出的归一化模量大于K₀固结试验的结果，而重塑土的等向固结试验给出的归一化模量显著小于K₀固结试验的结果；③ ACUC和ACUE试验给出的重塑土归一化模量E_u50/σ′_vc和E_u50/c_u差别不大，ACUE试验给出的原状土的归一化模量约为重塑土的两倍。这些试验结果表明，土样结构性对模量的影响比对强度的影响更为复杂，剪切过程中土的结构性改变导致原状土表现出较为复杂的变形特性，有些应力路径下的模量比重塑土大，有些应力路径下则相反；采用原状土的ICUC试验会高估原位土体的E_u50/c_u约17 %、E_u50/σ′_vc约28 %（ACUC）和76 %（ACUE），其原因可能是各向等压固结中的水平向固结应力大于K₀固结中的水平向固结应力。

2.3　E_u⁃ε_a关系

为了反映不同试验中不同固结压力下模量的非线性和归一化特性，本文分别采用了三种归一化方法：E_u/σ′_vc、E_u/E_u50和E_u/c_u。图3—5分别给出了E_u/σ′_vc、E_u/E_u50和E_u/c_u与轴向应变ε_a的关系曲线，注意ε_a采用的是对数坐标。可以看出，这些曲线均随轴向应变ε_a的增大而单调减小。三种归一化方法给出的归一化效果差别不大。重塑土样和原状土样的归一化曲线略微有差别，但难以给出一个统一的规律。

图3  三种试验得到的E_u /σ′_vc⁃ ε_a曲线

Fig. 3  E_u/σ′_vc ⁃ ε_a curves obtained by three types of tests

图4  三种试验得到的E_u /E_u50 ⁃ ε_a曲线

Fig. 4  E_u /E_u50 ⁃ ε_a curves obtained by three types of tests

图5  三种试验得到的E_u/c_u ⁃ ε_a曲线

Fig. 5  E_u/c_u ⁃ ε_a curves obtained by three types of tests

从图3所示的E_u/σ′_vc⁃ε_a曲线可以直观地对比三种试验在同等应变水平下不排水模量的大小。可以看出，同等应变水平下ICUC试验与ACUE试验的E_u/σ′_vc相近，均显著大于ACUC试验的数值，这与ACUC试验中土样更容易破坏有关。表4给出了轴向应变ε_a=0.1%、0.5%和1%时三种试验的E_u/σ′_vc平均值。根据这些数据，ICUC试验会显著高估原位土体主动破坏应力路径（即ACUC试验）下的模量。

表4  不同应变等级下三种试验得到的E_u/σ′_vc

Tab. 4  E_u/σ′_vc obtained by three types of tests at different strain levels

轴向应变 εa / %	归一化模量Eu/σ′vc
	ICUC试验	ACUC试验	ACUE试验
0.1	130	80	160
0.5	65	30	80
1	50	18	50

3 双曲线模型参数及归一化模量表达式

3.1　双曲线模型参数

Konder^［4］根据大量试验结果提出了描述等向固结土样剪切变形的双曲线模型，其表达式为

$$q=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{a}}}{(a+b{\epsilon }_{\mathrm{a}})}$$

（1）

式中：参数a为初始模量E_i的倒数，即a=1/E_i ；b为极限偏应力q_ult的倒数，即b =1/q_ult。双曲线模型在K₀固结土中的应用也受到了大量关注^［13-14］。K₀固结土的三轴剪切双曲线模型可以表示为

$$q-q_{\mathrm{0}}=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{a}}}{(a+b{\epsilon }_{\mathrm{a}})}$$

（2）

式中：参数a的定义同上，但注意由于初始剪应力q₀的存在，b的表达式与等向固结下略有不同。根据图2给出的q_ult的示意，ACUC和ACUE两种试验中参数b可统一表示为b=1/（q-q₀）_ult。邓肯‒张模型采用参数破坏比R_f来建立参数b与强度之间的关系。破坏比R_f定义为破坏偏应力q_f（为2c_u）与极限偏应力q_ult的比值。根据图2给出的示意，ICUC试验中破坏比R_f=2c_u/q_ult，ACUC和ACUE试验中的破坏比表示为（注意式中q区分正负）：

ICUC和ACUC试验

Rf=（2cu-q0）/（q-q0）ult

（3a）

ACUE试验

Rf=（-2cu-q0）/（q-q0）ult

（3b）

当初始剪应力$q_{\mathrm{0}}$=0时，式（2）便退化为式（1）。因此式（2）适用于等向固结与K₀固结两种固结模式。式（2）可进一步转化为

$$\frac{{\epsilon }_{\mathrm{a}}}{q-q_{\mathrm{0}}}=a+b{\epsilon }_{\mathrm{a}}$$

（4）

因此，将三轴试验结果整理给出ε_a/（q-q₀） ⁃ ε_a关系曲线，就可以根据其截距和斜率分别得到参数a和b，并进而得到初始模量E_i（=1/a）和破坏比R_f（ICUC和ACUC试验R_f=b（2c_u-q₀），ACUE试验R_f=-b（2c_u+q₀））。三种试验得到的ε_a/（q-q₀） ⁃ ε_a关系曲线如图6所示。可以看出，所有试验结果均接近线性关系，表明符合用双曲线模型。根据这些曲线确定的参数a、b、R_f以及E_ui、E_ui/σ′_vc、E_ui/E_u50的数值见表5。

图6  三种试验得到的ε_a /（q-q₀） - ε_a关系曲线

Fig. 6  ε_a/(q-q₀) - ε_a curves obtained by three types of tests

表5  双曲线模型参数汇总表

Tab. 5  Summary of hyperbolic model parameters

试验 类型	试验 编号	a	b	Rf	Eui /MPa	Eui/σ′vc		Eui/Eu50
						实测值	平均值	实测值	平均值
ICUC	NIC1	0.059	0.083	0.93	16.9	113	139	2.01	2.05
	NIC2	0.020	0.519	0.96	49.0	163		2.09
	RIC1	0.045	0.066	0.96	22.2	112	88	1.98	1.96
	RIC2	0.041	0.033	0.89	24.4	63		1.94
ACUC	NAC1	0.105	0.404	0.89	9.5	87	77	1.65	1.51
	NAC2	0.075	0.343	0.91	13.3	67		1.37
	RAC1	0.059	0.698	0.97	15.4	145	147	1.66	1.49
	RAC2	0.027	0.327	0.97	37.0	149		1.34
ACUE	NAE1	0.105	-0.084	0.89	9.5	85	74	1.92	1.87
	NAE2	0.075	-0.053	0.89	12.5	63		1.82
	RAE1	0.059	-0.108	0.96	15.4	161	155	1.71	1.74
	RAE2	0.027	-0.046	0.95	37.0	148		1.77

可以看出，ACUC与ACUE试验的a值非常接近，表明初始剪切模量E_ui基本相同。ACUC和ACUE试验中原状土的E_ui/σ′_vc约为75，显著小于ICUC试验结果（约140），而重塑土的要大于ICUC试验结果。这些规律与前面给出的E_u50的规律基本相同。这些试验结果表明，土的结构性以及固结状态对初始模量E_ui影响显著。对于原状软黏土，采用ICUC试验会高估K₀固结土的E_ui/σ′_v约80 %；而重塑土具有相反的规律。由表5可以看出，三种试验的破坏比R_f 的值比较接近，在0.89~0.97之间，重塑土的破坏比略大于原状土。

根据式（1）和式（2），可以推导出E_ui与E_u50的理论关系为E_ui/E_u50=2。从表5给出的试验结果来看，ICUC试验的 E_ui/E_u50与理论值非常接近，而ACUC和ACUE试验要略小于理论值。另外可以看出，这个比值受土的结构性影响较小，重塑土和原状土的平均值差别不大。

3.2　归一化模量统一表达式

从3.1节给出的试验结果来看，三种试验结果均符合双曲线模型，因此理论上可以通过双曲线模型获得归一化模量的表达式。由于E_u50是广泛采用的一个设计参数，且与E_ui具有很好的相关性，因此本文采用的归一化参数为E_u50，而不是其他学者普遍采用的c_u^［1］。由式（2）所示的双曲线模型可以得到割线模量的表达式为

$$E_{\mathrm{u}}=\frac{q-q_{\mathrm{0}}}{{\epsilon }_{\mathrm{a}}}=\frac{\mathrm{1}}{a+b{\epsilon }_{\mathrm{a}}}$$

（5）

因此归一化模量E_u50/E_u可以表示为

$$\frac{E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{E_{\mathrm{u}}}=\frac{a+b{\epsilon }_{\mathrm{a}}}{a+b{\epsilon }_{\mathrm{a}\mathrm{50}}}$$

（6）

其中ε_a50为模量E_u50对应的轴向应变。

将a=1/E_ui、b=R_f/±（2c_u-q₀）、ε_a50=（±2c_u-q₀）/（2E_u50）代入式（6），式（6）转化为

$$\begin{array}{l}\frac{E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{E_{\mathrm{u}}}=\frac{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{50}}+R_{\mathrm{f}}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{i}}}+\\ \frac{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{f}}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{i}}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{(\mathrm{2}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{50}}+R_{\mathrm{f}}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{i}})(\pm \mathrm{2}{c}_{\mathrm{u}}-q_{\mathrm{0}})}·{\epsilon }_{\mathrm{a}}\end{array}$$

（7）

其中2c_u前面的负号对应ACUE试验，正号对应ICUC和ACUC试验。由于E_ui=2E_u50，因此式（7）可进一步改写为

$$\frac{E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{E_{\mathrm{u}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+R_{\mathrm{f}}}+\frac{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{f}}{E}_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{(\mathrm{1}+R_{\mathrm{f}})(\pm \mathrm{2}{c}_{\mathrm{u}}-q_{\mathrm{0}})}·{\epsilon }_{\mathrm{a}}$$

（8）

式（8）表明归一化模量E_u50/E_u与轴向应变ε_a存在线性关系，这为研究归一化模量提供了方便。式（8）可进一步改写为

$$\frac{E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}{E_{\mathrm{u}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+R_{\mathrm{f}}}+\frac{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{f}}(E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}/\sigma {\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{v}\mathrm{c}})}{(\mathrm{1}+R_{\mathrm{f}})\left[\pm \mathrm{2}(c_{\mathrm{u}}/\sigma {\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{v}\mathrm{c}})-q_{\mathrm{0}}/\sigma {\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{v}\mathrm{c}}\right]}·{\epsilon }_{\mathrm{a}}$$

（9）

根据试验结果整理出三种试验的E_u50/E_u - ε_a关系曲线，另外将试验得到的E_u50/σ′_vc、c_u/σ′_vc和R_f代入式（9）得到理论曲线，二者的对比如图7所示。

图7  实测与理论的E_u50 /E_u - ε_a曲线

Fig. 7  Measured and theoretical curves of E_u50/E_u - ε_a

由图7可知，理论曲线与实测曲线十分接近，个别试验结果的差别略大一些，这可能与不同应变应力路径下的复杂变形特性有关。总体上讲，式（9）的应用效果良好，可用于不同试验条件下的E_u的确定。为了应用方便，将式（9）进一步改写为

$$\frac{E_{\mathrm{u}}}{E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}}=(\mathrm{1}+R_{\mathrm{f}})\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{R}_{\mathrm{f}}k{\epsilon }_{\mathrm{a}}}$$

（10）

其中：

$$k=\frac{(E_{\mathrm{u}\mathrm{50}}/\sigma {\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{v}\mathrm{c}})}{\pm \mathrm{2}(c_{\mathrm{u}}/\sigma {\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{v}\mathrm{c}})-\mathrm{1}+k_{\mathrm{0}}}$$

（11）

参数k反映归一化模量E_u50/E_u的大小，这个参数值越大，表明相同应变下的E_u50/E_u也越大。其中参数E_u50/σ′_vc、c_u/σ′_vc可以采用一些经验的数值。注意其中2c_u前面的负号对应ACUE试验，正号对应ICUC和ACUC试验。对于上海软黏土可以采用本文提供的归一化模量值来计算参数k值，其结果为：

① ICUC试验，原状土k=102，重塑土k=63；

② ACUC试验，原状土k=336，重塑土k=711；

③ ACUE试验，原状土k=-43.2，重塑土k=-98。

对于R_f 建议取平均值0.93。

4 结论

采用上海软黏土原状土样与重塑土样进行了三轴ICUC、ACUC与ACUE试验，对比研究了K₀固结和等向固结下不排水剪切变形的非线性变形特征和不排水模量，研究了归一化模量的统一表达式，得到的结论如下：

（1）ICUC试验与ACUC试验的归一化强度c_u/σ′_vc相差不大，约为0.33；ACUE试验的归一化强度约为0.22，约为ICUC试验与ACUC试验的0.7倍。三种剪切实验的q - ε_a 曲线均呈应变硬化型，ACUE试验的非线性特性最突出。

（2）同等应变水平下ICUC试验与ACUE试验的E_u/σ′_vc相近，均显著大于ACUC试验的结果。因此，采用常规的ICUC试验会在一定程度上高估主动破坏（即ACUC试验）下的模量。ACUC试验与ACUE试验具有相同的E_ui/σ′_vc，破坏比R_f也差别不大。

（3）三种试验得到的应力应变曲线以及归一化模量E_u/E_u50可统一采用本文给出的公式表示，需要的参数为E_u50/σ′_vc、c_u/σ′_vc和R_f。文中给出了上海软粘土的参数值，可用于不排水剪切变形分析中模量的确定。

作者贡献声明

高彦斌：研究构思，室内试验，理论分析。

罗文康：数据分析，图表制作，稿件撰写。

李泳键：文字校对，稿件修订。