感应电动机中三相不对称绕组

摘要

对具有三相不对称交流绕组的感应电动机进行研究，对已有的研究成果进行分析与对比。在对称分量变换下建立了采用序阻抗表达的对称绕组相电压方程，得到了相绕组的自漏阻抗和互漏阻抗与等效阻抗和零序阻抗之间的关系。根据不对称绕组的实际情况，将等效阻抗和零序阻抗分别乘上不同的系数，建立了新的电压方程。采用磁动势分量进行了坐标变换，实现了电压方程的解耦，使计算得到简化。最后，通过实验对计算数据进行了验证。

关键词

感应电动机; 不对称交流绕组; 电压方程; 磁动势分量变换; 方程解耦; 实验验证

感应电动机时常出现三相绕组不对称的情况，如：大型电动机在运行中个别线圈出现短路故障，摘除故障线圈继续运行，造成三相绕组不对称^［1-2］；中小型双速电动机在变极后，绕组有时也会出现三相绕组不对称情况^［3］；为了通用定子冲片，减小齿槽转矩，采用分母为3的分数槽绕组而出现三相绕组不对称情况^［4-7］；永磁直线感应电动机的边端效应引起定子三相绕组自感和互感系数的不对称^［8-9］。

针对三相不对称绕组，许多学者进行了研究。李明阳等^［6］、汤蕴璆等^［10］、尹家骥等^［11］、乔桂红等^［12］进行了三相不对称绕组的谐波分析，发现其谐波含量要比对称绕组的多。李建久等^［13］、唐守杰等^［14］建立了三相不对称绕组的等效电路，由于计算复杂，因此采用计算机完成计算。吴新振等^［15］采用矩阵方法分析三相不对称绕组，虽然将电压方程由三阶降为二阶，但是由于不能解耦，导致计算繁琐。戈宝军等^［16-17］、陆海玲等^［18］分析了电动机不对称运行时的特性和瞬态。

对于电动机绕组对称、电压不对称的运行情况，采用对称分量法可以使电压方程解耦，计算得到简化^［19-20］。然而，采用对称分量法分析三相不对称绕组时^［21-23］，电压方程不能解耦。陈世元^［24］对文献［21］中的电压方程采用磁动势分量变换分析，虽然变换后的电压方程对角线元素明显占优，但是仍然不能解耦。本研究对文献［21］中的电压方程进行分析，建立新的电压方程，并采用文献［24］中的磁动势分量变换使电压方程解耦。

1 对称绕组的电压方程

众所周知，对称绕组外加不对称电压运行时，可采用对称分量法分析，电压方程为

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{+}\\ {\dot{U}}_{-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{0}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{+}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& Z_{-}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& Z_{\mathrm{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{+}\\ {\dot{I}}_{-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{0}}\end{array}\right]$$

（1）

式中：${\dot{U}}_{+}$、${\dot{U}}_{-}$和${\dot{U}}_{\mathrm{0}}$分别为正序、负序和零序分量电压；${\dot{I}}_{+}$、${\dot{I}}_{-}$和${\dot{I}}_{\mathrm{0}}$分别为正序、负序和零序分量电流；Z₊、Z_-和Z₀分别为正序、负序和零序阻抗。对称分量变换式为

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{+}\\ {\dot{U}}_{-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{0}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& a& a^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{1}& a^{\mathrm{2}}& a\\ \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]}_{}$$

（2）

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{+}\\ {\dot{I}}_{-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{0}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& a& a^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{1}& a^{\mathrm{2}}& a\\ \mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（3）

式中：${\dot{U}}_{\mathrm{A}}$、${\dot{U}}_{\mathrm{B}}$、${\dot{U}}_{\mathrm{C}}$和${\dot{I}}_{\mathrm{A}}$、${\dot{I}}_{\mathrm{B}}$、${\dot{I}}_{\mathrm{C}}$分别为相电压和相电流；$a={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{120}}$。将式（2）和式（3）代入式（1）有

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{+}+Z_{-}+Z_{\mathrm{0}}& a{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+Z_{\mathrm{0}}& a^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{Z}_{-}+Z_{\mathrm{0}}\\ a^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{Z}_{-}+Z_{\mathrm{0}}& Z_{+}+Z_{-}+Z_{\mathrm{0}}& a{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+Z_{\mathrm{0}}\\ a{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+Z_{\mathrm{0}}& a^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{Z}_{-}+Z_{\mathrm{0}}& Z_{+}+Z_{-}+Z_{\mathrm{0}}\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（4）

还可以写成^［3］

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{+}-Z_S& Z_{-}-Z_S\\ a^{\mathrm{2}}(Z_{+}-Z_S)& a(Z_{-}-Z_S)\\ a(Z_{+}-Z_S)& a^{\mathrm{2}}(Z_{-}-Z_S)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{+}\\ {\dot{I}}_{-}\end{array}\right]+$$$$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}& Z_{\mathrm{A}\mathrm{B}}& Z_{\mathrm{A}\mathrm{C}}\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{A}}& Z_{\mathrm{B}\mathrm{B}}& Z_{\mathrm{B}\mathrm{C}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{A}}& Z_{\mathrm{C}\mathrm{B}}& Z_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（5）

式中：Z_S为相绕组本身电阻和等效漏电抗构成的阻抗；Z_AA、Z_BB、Z_CC为相绕组本身电阻和自漏电抗构成的阻抗，Z_AB、Z_BA、Z_AC、Z_CA、Z_BC、Z_CB为相绕组间互漏电抗构成的阻抗。式（5）中，等号右边第一项为正、负序旋转磁场引起的感应电动势，零序电流不产生旋转磁场，因此不在定子绕组中产生感应电动势；等号右边第二项为定子边漏阻抗压降。电动机的正、负序旋转磁动势分别与正、负序电流${\dot{I}}_{+}$、${\dot{I}}_{-}$成正比，而电动机的正、负序旋转磁通分别与$\left(Z_{+}-Z_{\mathrm{S}}\right){\dot{I}}_{+}$、$\left(Z_{+}-Z_{\mathrm{S}}\right){\dot{I}}_{-}$成正比。将${\dot{I}}_{+}$、${\dot{I}}_{-}$、${\dot{I}}_{\mathrm{0}}$按式（3）转换成${\dot{I}}_{\mathrm{A}}$、${\dot{I}}_{\mathrm{B}}$、${\dot{I}}_{\mathrm{C}}$，相加后得到

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{+}+Z_{-}-\mathrm{2}{Z}_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}& a{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+Z_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{B}}& a^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{Z}_{-}+Z_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{C}}\\ a^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{Z}_{-}+Z_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{B}\mathrm{A}}& Z_{+}+Z_{-}-\mathrm{2}{Z}_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{B}\mathrm{B}}& a{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+Z_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{B}\mathrm{C}}\\ a{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+Z_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{C}\mathrm{A}}& a^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{Z}_{-}+Z_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{C}\mathrm{B}}& Z_{+}+Z_{-}-\mathrm{2}{Z}_{\mathrm{S}}+\mathrm{3}{Z}_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（6）

对比式（4）和式（6）可得出

$$\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}=Z_{\mathrm{B}\mathrm{B}}=Z_{\mathrm{C}\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(Z_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}{Z}_{\mathrm{S}})\\ Z_{\mathrm{A}\mathrm{B}}=Z_{\mathrm{B}\mathrm{A}}=Z_{\mathrm{A}\mathrm{C}}=Z_{\mathrm{C}\mathrm{A}}=Z_{\mathrm{B}\mathrm{C}}=Z_{\mathrm{C}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(Z_{\mathrm{0}}-Z_{\mathrm{S}})\end{array}\right.$$

（7）

虽然Z_S和Z₀都具有漏阻抗性质，但是又有所不同。Z_S为每相的等效参数，与绕组坐标无关，只与绕组匝数和相对夹角有关；Z₀为实际参数，除了与绕组匝数和相对夹角有关外，还与绕组的坐标有关。

2 不对称绕组的电压方程

定子绕组的不对称形式是多种多样的，但无论哪一种形式，都可以由三相槽矢量表示成一个统一的一般不对称绕组表达式^［24］，如下所示：

$$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{T}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{1}\\ {\mathit{T}}_{\mathrm{B}}=a^{\mathrm{2}}K\\ {\mathit{T}}_{\mathrm{C}}=aH\end{array}\right.$$

（8）

$$K=k{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\gamma }$$，$$H=h{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\beta }$$

式中：${\mathit{T}}_{\mathrm{A}}$、${\mathit{T}}_{\mathrm{B}}$、${\mathit{T}}_{\mathrm{C}}$为向量，其中${\mathit{T}}_{\mathrm{A}}$为参考向量，幅值为1；k、h分别为${\mathit{T}}_{\mathrm{B}}$、${\mathit{T}}_{\mathrm{C}}$的幅值与参考向量${\mathit{T}}_{\mathrm{A}}$幅值的比值，也是有效串联匝数的比值；γ、β分别为${\mathit{T}}_{\mathrm{B}}$、${\mathit{T}}_{\mathrm{C}}$在其对称位置上的偏移角。k、h、γ、β取不同值时，就表示各种特殊形式的一般不对称绕组。一般不对称绕组的三相槽矢量如图1所示，坐标原点选择在A相绕组轴线上。

图1  三相槽矢量图

Fig.1  Slot vector diagram of three phases

转子是对称的，正、反转磁动势各自在转子绕组中感应出一组对称的电势，因此三相定子感应电势加上定子漏阻抗压降与电源电压相平衡。参照式（5），一般不对称绕组的电压方程可写成

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{Z}_{+}-Z_{\mathrm{s}}\\ a^{\mathrm{2}}K(Z_{+}-Z_{\mathrm{s}})\\ aH(Z_{+}-Z_{\mathrm{s}})\end{array}\hspace{1em}\begin{array}{c}{Z}_{-}-Z_{\mathrm{s}}\\ a{K}^{\mathrm{*}}(Z_{-}-Z_{\mathrm{s}})\\ a^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{*}}(Z_{-}-Z_{\mathrm{s}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\end{array}\right]+$$$$\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}& Z_{\mathrm{A}\mathrm{B}}& Z_{\mathrm{A}\mathrm{C}}\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{A}}& Z_{\mathrm{B}\mathrm{B}}& Z_{\mathrm{B}\mathrm{C}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{A}}& Z_{\mathrm{C}\mathrm{B}}& Z_{\mathrm{C}\mathrm{C}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（9）

式中：^*表示共轭；${\dot{I}}_{\mathrm{f}+}$和${\dot{I}}_{\mathrm{f}-}$为磁动势分量电流^［24］。磁动势分量电流计算式为

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& a{K}^{\mathrm{*}}& a^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{*}}\\ \mathrm{1}& a^{\mathrm{2}}K& aH\\ \mathrm{1}& -(a{K}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}K)& -(a^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{*}}+aH)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（10）

对于一般不对称绕组，式（7）中的Z_s项应为^［24］

$$\left\{\begin{array}{c}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{s}}\hspace{1em}\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{B}}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{k}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{s}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{C}}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{h}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{s}}\end{array}\right.$$

（11）

$$\left\{\begin{array}{c}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{B}}^{\text{'}}=Z_{\mathrm{B}\mathrm{A}}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°-\gamma )Z_{\mathrm{s}}\hspace{1em}\hspace{1em}\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{C}}^{\text{'}}=Z_{\mathrm{C}\mathrm{B}}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}kh\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°+\gamma -\beta )Z_{\mathrm{s}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{A}}^{\text{'}}=Z_{\mathrm{A}\mathrm{C}}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}h\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°+\beta )Z_{\mathrm{s}}\hspace{1em}\hspace{1em}\end{array}\right.$$

（12）

式（7）的Z₀项可根据文献［25］中的定义来确定。对一般不对称绕组，三相绕组的绕组函数^［25］可以表示为

$$\left\{\begin{array}{l}{N}_{\mathrm{A}}(\varphi )=\frac{N_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi \\ N_{\mathrm{B}}(\varphi )=\frac{N_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi -\mathrm{120}+\gamma )\\ N_{\mathrm{C}}(\varphi )=\frac{N_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}h\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varphi +\mathrm{120}+\beta )\end{array}\right.$$

（13）

式中：N_s为每相绕组有效匝数；$\varphi$为从相绕组轴线算起的空间角度。令$\varphi$=0，则有

$$\left\{\begin{array}{l}{N}_{\mathrm{A}}=\frac{N_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}\\ N_{\mathrm{B}}=\frac{N_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}-\gamma )\\ N_{\mathrm{C}}=\frac{N_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}h\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}+\beta )\end{array}\right.$$

（14）

N_A、N_B、N_C可看作为各项绕组相对于坐标原点的有效匝数。根据文献［25］中的定义，自感漏抗的Z₀项应与本相的有效匝数的平方成正比，互感漏抗的Z₀项应与相关两相的有效匝数乘积成正比，即：

$$\left\{\begin{array}{c}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}^{″}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{0}}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{B}}^{″}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{k}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{120}-\gamma )Z_{\mathrm{0}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{C}}^{″}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{h}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{120}+\beta )Z_{\mathrm{0}}\end{array}\right.$$

（15）

$$\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{B}}^{″}=Z_{\mathrm{B}\mathrm{A}}^{″}=-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°-\gamma )Z_{\mathrm{0}}\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{C}}^{″}=Z_{\mathrm{C}\mathrm{B}}^{″}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}kh\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°-\gamma )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°+\beta )Z_{\mathrm{0}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{A}}^{″}=Z_{\mathrm{A}\mathrm{C}}^{″}=-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}h\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{120}°+\beta )Z_{\mathrm{0}}\end{array}\right.$$

（16）

将式（11）和式（15）相加，式（12）和式（16）相加，再利用三角函数的和差化积公式、欧拉公式，可得

$$\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{Z}_{\mathrm{s}}+Z_{\mathrm{0}}\right)\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{k}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{s}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K})}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{h}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{s}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}}{)}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\end{array}\right.$$

（17）

$$\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{A}\mathrm{B}}=Z_{\mathrm{B}\mathrm{A}}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})(Z_{\mathrm{0}}-Z_{\mathrm{s}})\\ Z_{\mathrm{B}\mathrm{C}}=Z_{\mathrm{C}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(a\dot{K}{H}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K}}^{\mathbf{*}}H)Z_{\mathrm{s}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}})Z_{\mathrm{0}}\\ Z_{\mathrm{C}\mathrm{A}}=Z_{\mathrm{A}\mathrm{C}}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}})(Z_{\mathrm{0}}-Z_{\mathrm{s}})\end{array}\right.$$

（18）

由于绕组电阻相对于漏抗甚小，因此可以认为漏抗近似等于阻抗。将式（10）、式（17）和式（18）代入式（9），得到一般不对称绕组的电压方程，如下所示：

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{cc}{Z}_{+}+Z_{-}+Z_{\mathrm{0}}& a{\dot{K}}^{\mathrm{*}}{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}\dot{K}{Z}_{-}-(a{\dot{K}}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})Z_{\mathrm{0}}\\ a^{\mathrm{2}}\dot{K}{Z}_{+}+a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}{Z}_{-}-(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})Z_{\mathrm{0}}& k^{\mathrm{2}}\left(Z_{+}+Z_{-}\right)+(a{\dot{K}}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K})}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\\ a\dot{H}{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}}{Z}_{-}-(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}})Z_{\mathrm{0}}& a^{\mathrm{2}}{\dot{K}}^{\mathrm{*}}\dot{H}{Z}_{+}+a\dot{K}{\dot{H}}^{\mathrm{*}}{Z}_{-}+(a{\dot{K}}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathrm{*}})Z_{\mathrm{0}}\end{array}\right.$$

$$\left.\begin{array}{c}{a}^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}}{Z}_{+}+a\dot{H}{Z}_{-}-(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}})Z_{\mathrm{0}}\\ a\dot{K}{\dot{H}}^{\mathbf{*}}{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K}}^{\mathbf{*}}\dot{H}{Z}_{-}+(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}})Z_{\mathrm{0}}\\ h^{\mathrm{2}}(Z_{+}+Z_{-})+(a\dot{H}+a^{\mathrm{2}}{\dot{H}}^{\mathbf{*}}{)}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（19）

当三相绕组对称时，即k=1，h=1，γ=0，β=0时，式（19）可转变成式（4）。当三相绕组为镜像不对称时，即h=k， β=-γ时，$\dot{H}$=$\dot{K}$^*，$\dot{H}$^*=$\dot{K}$，式（19）可转变成下式：

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{cc}{Z}_{+}+Z_{-}+Z_{\mathrm{0}}& a{\dot{K}}^{*}{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}\dot{K}{Z}_{-}-(a{\dot{K}}^{*}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})Z_{\mathrm{0}}\\ a^{\mathrm{2}}\dot{K}{Z}_{+}+a{\dot{K}}^{\mathit{*}}{Z}_{-}-(a{\dot{K}}^{\mathit{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})Z_{\mathrm{0}}& k^{\mathrm{2}}\left(Z_{+}+Z_{-}\right)+(a{\dot{K}}^{*}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K})}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\\ a{\dot{K}}^{\mathit{*}}{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}\dot{K}{Z}_{-}-(a{\dot{K}}^{\mathit{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})Z_{\mathrm{0}}& a^{\mathrm{2}}{\dot{K}}^{*\mathrm{2}}{Z}_{+}+a{\dot{K}}^{\mathrm{2}}{Z}_{-}+(a{\dot{K}}^{*}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K})}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\end{array}\right.$$

$$\left.\begin{array}{c}{a}^{\mathrm{2}}\dot{K}{Z}_{+}+a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}{Z}_{-}-(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}\dot{K})Z_{\mathrm{0}}\\ a{\dot{K}}^{\mathrm{2}}{Z}_{+}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K}}^{\mathbf{*}\mathrm{2}}{Z}_{-}+(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K})}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\\ k^{\mathrm{2}}(Z_{+}+Z_{-})+(a{\dot{K}}^{\mathbf{*}}+a^{\mathrm{2}}{\dot{K})}^{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{0}}\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（20）

3 磁动势分量变换后的电压方程

根据文献［24］，磁动势分量变换式为

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ a^{\mathrm{2}}K& a{K}^{\mathrm{*}}& -\left(a^{\mathrm{2}}K+a{K}^{\mathrm{*}}\right)\\ aH& a^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{*}}& -\left(aH+a^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{*}}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]$$

（21）

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ a^{\mathrm{2}}{\xi }_{+}& a{\xi }_{-}& {\xi }_{\mathrm{0}}\\ a{\eta }_{+}& a^{\mathrm{2}}{\eta }_{-}& {\eta }_{\mathrm{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]$$

（22）

$${\xi }_{+}=\frac{H^{\mathrm{*}}+\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}}H}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}H-aK{H}^{\mathrm{*}}}$$，$${\xi }_{-}=-\frac{H+\mathrm{2}a{H}^{\mathrm{*}}}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}H-aK{H}^{\mathrm{*}}}$$，$${\xi }_{\mathrm{0}}=\frac{a^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{*}}-aH}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}H-aK{H}^{\mathrm{*}}}$$

$${\eta }_{+}=-\frac{K^{\mathrm{*}}+\mathrm{2}aK}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}H-aK{H}^{\mathrm{*}}}$$，$${\eta }_{-}=\frac{K+\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}H-aK{H}^{\mathrm{*}}}$$，$${\eta }_{\mathrm{0}}=-\frac{a{K}^{\mathrm{*}}-a^{\mathrm{2}}K}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}H-aK{H}^{\mathrm{*}}}$$

式中：${\dot{U}}_{\mathrm{f}+}$、${\dot{U}}_{\mathrm{f}-}$、${\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}$分别为正序、负序和零序磁动势分量电压。逆变换为式（10）和下式：

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& a{\xi }_{-}& a^{\mathrm{2}}{\eta }_{-}\\ \mathrm{1}& a^{\mathrm{2}}{\xi }_{+}& a{\eta }_{+}\\ \mathrm{1}& {\xi }_{\mathrm{0}}& {\eta }_{\mathrm{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（23）

当绕组对称时，即k=1，h=1，γ=0，β=0时，式（21）、式（22）、式（23）和式（10）变成对称分量。

对于镜像不对称绕组，将H=K^*，H^*=K代入式（21）、式（22）、式（23）和式（10），可得

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ a^{\mathrm{2}}K& a{K}^{\mathrm{*}}& -(a{K}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}K)\\ a{K}^{\mathrm{*}}& a^{\mathrm{2}}K& -(a{K}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}K)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]$$

（24）

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ a^{\mathrm{2}}{\xi }_{+}^{\text{'}}& a{\xi }_{-}^{\text{'}}& {\xi }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}\\ a{\xi }_{-}^{\text{'}}& a^{\mathrm{2}}{\xi }_{+}^{\text{'}}& {\xi }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]$$

（25）

$${\xi }_{+}^{\text{'}}=\frac{K+\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}}}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}\mathrm{2}}-a{K}^{\mathrm{2}}}$$，$${\xi }_{-}^{\text{'}}=-\frac{K^{\mathrm{*}}+\mathrm{2}aK}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}\mathrm{2}}-a{K}^{\mathrm{2}}}$$，$${\xi }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}=\frac{a^{\mathrm{2}}K-a{K}^{\mathrm{*}}}{a^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{*}\mathrm{2}}-a{K}^{\mathrm{2}}}$$

逆变换为

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& a{\xi }_{-}^{\text{'}}& a^{\mathrm{2}}{\xi }_{+}^{\text{'}}\\ \mathrm{1}& a^{\mathrm{2}}{\xi }_{+}^{\text{'}}& a{\xi }_{-}^{\text{'}}\\ \mathrm{1}& {\xi }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}& {\xi }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（26）

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& a{K}^{\mathrm{*}}& a^{\mathrm{2}}K\\ \mathrm{1}& a^{\mathrm{2}}K& a{K}^{\mathrm{*}}\\ \mathrm{1}& -\left(a{K}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}K\right)& -\left(a{K}^{\mathrm{*}}+a^{\mathrm{2}}K\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{A}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{B}}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{C}}\end{array}\right]$$

（27）

将式（21）和式（22）代入式（19），进行磁动势分量变换，可得

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Z}_{+}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& Z_{-}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& Z_{\mathrm{0}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\\ {\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}\end{array}\right]$$

（28）

由此可见，对于具有一般不对称绕组的三相电动机，经过磁动势分量变换后，阻抗矩阵将转化为对角线矩阵，而其中元素是对称时的序阻抗，不必重新计算。正序、负序和零序3个电压方程互相独立（解耦），各序电压仅产生该序电流，因此各序可以单独求解，使求解过程简化。于是

$${\dot{U}}_{\mathrm{f}+}={\dot{I}}_{\mathrm{f}+}{Z}_{+},{\dot{U}}_{\mathrm{f}-}={\dot{I}}_{\mathrm{f}-}{Z}_{-},{\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}={\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}{Z}_{\mathrm{0}}$$

（29）

或

$${\dot{I}}_{\mathrm{f}+}=\frac{{\dot{U}}_{\mathrm{f}+}}{Z_{+}},{\dot{I}}_{\mathrm{f}-}=\frac{{\dot{U}}_{\mathrm{f}-}}{Z_{-}},{\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}=\frac{{\dot{U}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}}{Z_{\mathrm{0}}}$$

（30）

计算出${\dot{I}}_{\mathrm{f}+}\mathrm{、}{\dot{I}}_{\mathrm{f}-}\mathrm{、}{\dot{I}}_{\mathrm{f}\mathrm{0}}$后，从式（22）即可求出各相的实际电流。

对于镜像不对称绕组，将式（24）和式（25）代入式（20），同样可得式（28），再由式（25）求出各相的实际电流。

4 实验验证

为了进行不对称绕组的电动机实验，需要对电动机进行重绕。为了节省经费，特选一台报废的JO2‒41‒4型感应电动机作为被测电动机。重绕后的电动机数据如下：额定电压为380 V，额定功率为3.3 kW，额定电流为6.9 A，额定频率为50 Hz，额定转速为1 430 r·min^-1，额定转差率为0.046 5，绕组节距取1~9。

实验电路如图2所示，主要实验设备如表1所示，主要实验仪表如表2所示。

图2  实验电路

Fig.2  Experiment circuit

表1  主要实验设备

Tab.1  Main experiment instruments

序号	符号	名称	型号	转速/（r·min-1）	规格及量程	电压/V	电流/A	制造厂家
1	D1	被测感应电动机	JO2‒41‒4	1 430
2	D2	同步发电机	T2‒74‒24	1 500	24.00 kW	400	44.0	上海革新电动机厂
3	D3	感应电动机	BM82‒4	1 460	40.00 kW	380	75.0
4	D4	直流发电机	Z2‒82	1 450	35.00 kW	230	152.0	西安电动机厂
5	D5	直流电动机	Z2‒81	1 500	30.00 kW	220	156.9	西安电动机厂
6	D6	励磁机	811	2 200	0.85 kW	31	27.0	上海革新电动机厂
7	D7	直流发电机	Z‒68	1 459	4.80 kW	230	20.7	天津直流电动机厂
8	TY	三相调压器	TJA‒1		100 kVA	380	80.0	绥化电动机厂
9	TY1	单相调压器	TZI2/250		0~250 V	220/110	8.0/3.6
10	TY2	单相调压器	TZI2/250		0~250 V	220/110	8.0/3.6
11	TY3	单相调压器	TZI2/250		0~250 V	220/110	8.0/3.6
12	WY	稳压电源	JWY			6	1.0	石家庄无线电器厂
13	R1	调节变阻器
14	R2	调节变阻器
15	R3	滑线变阻器			28.5 Ω		6.0	美安电业制造厂
16	R4	调节变阻器			160.0 Ω		15.0	上海电阻厂
17	R5	滑线变阻器			500.0 Ω		1.5	上海艾镇五金厂
18	R6	调节变阻器			80.0 Ω		30.0	上海电阻厂

表2  主要实验仪表

Tab.2  Main experiment meter

序号	符号	名称	型号	精度等级	规格及量程	内阻/Ω	内感/mH	制造厂家
1	HZ	週率表	113		40~60 Hz			大华科学器材厂
2	A1	电流表	D26‒A	0.5	10 A	0.14	0.06	上海第二电表厂
3	A2	电流表	D26‒A	0.5	10 A	0.14	0.06	上海第二电表厂
4	A3	电流表	D26‒A	0.5	10 A	0.14	0.06	上海第二电表厂
5	A4	电流表	1T1‒A		100 A			上海电表厂
6	A5	电流表	1T1‒A		100 A			上海电表厂
7	W1	瓦特表	D26‒W	0.5	10 A/600 V	0.02	0.02	上海第二电表厂
8	W2	瓦特表	D26‒W	0.5	10 A/600 V	0.02	0.02	上海第二电表厂
9	JL	稳流计	AC15‒4	0.5	<5×10-9 A·分度-1	<50.00	<500.00	上海电表厂
10	CG	转速传感器	SZGB‒11		220 V			上海转速表厂
11	SP	数字转速测试仪	XJP‒10		10 s
12	V1	电压表	D26‒V	0.5	250 V	6.25×103		上海第二电表厂
13	V2	电压表	D26‒V	0.5	250 V	6.25×103		上海第二电表厂
14	V3	电压表	D26‒V	0.5	250 V	6.25×103		上海第二电表厂
15	V4	电压表	D26‒V	0.5	500 V	12.50×103		上海第二电表厂
16	V5	电压表	D26‒V	0.5	500 V	12.50×103		上海第二电表厂
17	V6	电压表	D26‒V	0.5	500 V	12.50×103		上海第二电表厂
18	V7	电压表	T2‒B	0.5	300 V	10.00×103		上海第二电表厂
19	V8	电压表	T2‒B	0.5	300 V	10.00×103		上海第二电表厂
20	V9	电压表	2112	0.5	600 V			大华仪表厂
21	V10	电压表	201		600 V
22	V11	电压表	T2‒B	0.5	300 V	10.00×103

图2中，电动机D2―D6构成稳频发电机组，作为实验电源。通过变阻器R1、R2和R3调节直流电动机D5的转速来控制同步发电机D2的频率，其频率为（50.0±0.1） Hz。变阻器R4用来调节同步发电机D2的励磁，控制同步发电机D2的端电压，三相电压不平衡度不超过±0.4%。JL、CG、SP和WY构成转差检测系统，用来检测被测感应电动机D1的转差率。直流发电机D7作为被测感应电动机的负载，通过变阻器R5调节D7的端电压，通过变阻器R6调节D7的功率，即调节D1的负载。电流表A1、A2和A3用来检测D1的三相电流，电压表V1、V2和V3用来检测D1的三相电压，电压表V4、V5和V6用来检测D1的三相线电压。

将被测感应电动机D1的绕组绕成三相对称绕组，在室温23 ℃时测得的定子三相电阻分别为1.794 、1.780、1.789 Ω。首先进行空载实验，空载电流的不平衡度不超过±1.5%，三相电压不平衡度不超过±0.4%，然后进行负载实验。额定转差率时测得的各序阻抗为

$$\left\{\begin{array}{c}{Z}_{+}=\mathrm{28.5}+\mathrm{j}\mathrm{15.7}=\mathrm{32.538}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{28.85}}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\\ Z_{-}=\mathrm{3.852}\mathrm{4}+\mathrm{j}\mathrm{7.487}\mathrm{9}=\mathrm{8.420}\mathrm{8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{62.774}\mathrm{9}}\\ Z_{\mathrm{0}}=\mathrm{2.367}\mathrm{3}+\mathrm{j}\mathrm{4.200}\mathrm{2}=\mathrm{4.821}\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\mathrm{60.393}\mathrm{3}}\end{array}\right.$$

将B、C两相拆去一部分线圈，构成不对称绕组，不对称参数为k=0.918 9，h=0.838 9，γ=-1.851 9°， β=-4.059 6°。

实验时，首先合上开关K2并观察电流表A4和电压表V10，再调节调压器TY并观察电压表V9，将电压调节到电动机D3的额定电压。用滑线变阻器R1将直流发电机D4的端电压调节到额定电压，再通过变阻器R2和R3将直流电动机D5的转速调节到同步转速1 500 r·min^-1，使週率表HZ的读数为50 Hz。由变阻器R4调节励磁机D6提供的励磁电流，从而将同步发电机D2的端电压调节到额定电压。合上开关K1，由单相调压器TY1、TY2和TY3将电压调节为不对称电压。由滑线变阻器R1将直流发电机D7的端电压调节到额定电压。合上开关K3，通过变阻器R6，将被测感应电动机的负载调节到某个实验点。合上开关K4，接通检测电源。每个实验点都要通过调节变阻器R1、R2和R3使得同步发电机D2的频率为50 Hz，端电压为额定电压时，读取各仪表的读数并记录。

不同负载时三相电流计算数据与实测数据的对比如表3所示。由表3可见，计算数据与实测数据的相对误差不超过6%，从而验证了该计算方法的可行性。

表3  各相电流的计算数据与实测数据

Tab.3  Calculation data and experiment data of each phase current

功率/W	电流计算值/A			电流实验值/A			相对误差/%
	A相	B相	C相	A相	B相	C相	A相	B相	C相
4 600	6.324 6	7.663 9	10.200 2	6.710	8.09	9.73	5.744	5.270	-4.832
4 000	5.374 6	6.693 6	9.247 0	5.690	7.08	8.91	5.543	5.458	-3.782
3 300	4.357 3	5.721 4	7.845 7	4.450	5.87	7.69	2.083	2.532	-2.025
2 400	3.140 1	4.443 9	6.445 6	3.330	4.71	6.19	5.702	5.650	-4.129
1 500	2.339 3	3.143 6	5.637 8	2.485	3.34	5.36	5.863	5.880	-5.183

5 结论

（1） 建立了采用对称绕组序阻抗表达的三相不对称绕组电压方程。

（2） 对于三相不对称绕组电压方程，采用磁动势分量进行坐标变换后方程解耦，阻抗矩阵简化为对角线阵，方便计算。计算时采用对称时的序阻抗。

（3） 计算数据与实测数据的相对误差不超过6%，可见提出的计算方法是可行的。

作者贡献声明

陈世元：理论分析和研究。

陈 栋：数学公式推导。